Apa masalah terbuka tertua di TCS?


36

Masalah ini terinspirasi oleh pertanyaan MO ini , yang menurut saya sangat menarik.

Apa masalah terbuka tertua di TCS?

Jelas pertanyaan ini membutuhkan klarifikasi.

Pertama, apa itu TCS? Saya pikir keberadaan angka sempurna ganjil bukanlah TCS. Saya akan mengatakan bahwa masalah kesepuluh Hilbert adalah TCS. Saya pikir masalah seperti "Bisakah kita membangun X dengan penggaris dan kompas" juga TCS, karena mereka meminta algoritma dalam model komputasi yang dibatasi. Mungkin tidak ada cara ketat untuk mendefinisikan apa masalah TCS, tetapi gunakan penilaian Anda. Mungkin satu tes adalah "Jika ini diselesaikan, apakah kemungkinan besar akan muncul di STOC / FOCS? Apakah peneliti yang menyelesaikannya kemungkinan besar adalah seorang ilmuwan komputer teoretis?"

Kedua, apa yang "tertua"? Maksudku tertua menurut tanggal. Tanggal yang dinyatakan juga harus dapat diverifikasi, tetapi saya rasa ini tidak terlalu sulit.

Ketiga, apa itu "masalah terbuka"? Dengan "masalah terbuka", maksud saya masalah yang secara khusus dianggap terbuka pada suatu waktu. Mungkin itu muncul di akhir makalah di bagian masalah terbuka, atau mungkin ada bukti bahwa beberapa orang mengerjakannya dan gagal, atau mungkin ada bukti yang salah dalam literatur, yang menunjukkan bahwa itu telah dipelajari. Sebuah contoh dari sesuatu yang tidak sesuai dengan kriteria ini: "Orang Yunani mempelajari objek X dan Y. Z jelas merupakan objek perantara, tentu mereka bertanya-tanya apakah itu dapat dibangun." Jika tidak ada literatur tentang Z dari periode waktu itu, maka itu bukan masalah terbuka dari periode waktu itu.

Keempat, apa yang saya maksud dengan "masalah"? Maksud saya pertanyaan "ya / tidak" yang spesifik, dan bukan sesuatu seperti "Karakterisasi semua objek X dengan properti Y", karena pertanyaan seperti itu seringkali tidak memiliki jawaban yang memuaskan. Cukup sering akan ada ketidaksepakatan tentang apakah pertanyaan telah diselesaikan. Mari kita tidak membahas pertanyaan semacam itu di sini. Jika itu bukan pertanyaan ya / tidak, tetapi jelas bahwa itu benar-benar terbuka, itu juga baik. (Dalam hal ini tidak jelas, dengan "masalah" yang saya maksud adalah masalah yang dinyatakan secara formal. Tolong jangan mengonversi beberapa legenda rakyat tentang perjudian pada abad ke-16 menjadi pertanyaan tentang BPP dan PSPACE.)

Terakhir, karena ini bukan pertanyaan daftar besar, silakan posting jawaban hanya jika Anda pikir itu lebih tua dari jawaban yang sudah diposting (atau jika Anda berpikir jawaban yang diposting tidak memenuhi beberapa persyaratan lain - seperti mereka bukan TCS, atau tidak terbuka). Ini bukan kumpulan masalah terbuka lama tanpa pandang bulu.


13
"Apa cara terbaik memasak daging?" Di bawah model perhitungan api unggun, apa algoritma terbaik untuk menyiapkan makanan? - relevan ribuan tahun yang lalu, masih relevan sekarang! Plus ada banyak literatur tentang masalah ini! (Maaf, saya tidak bisa menahan ;-))
Daniel Apon

3
Apakah ada tuhan? Bisa jadi masalah TCS jika bisa diselesaikan oleh komputer.
Sariel Har-Peled

9
@Daniel, 'apa cara terbaik untuk memotong kue' adalah pertanyaan TCS yang sebenarnya !!!
Suresh Venkat

3
#offtopic: senang melihat bahwa supercooldave sekarang memiliki nama :)
Suresh Venkat

5
Saya menemukan sebuah buku berjudul "A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip" ( amazon.com/dp/3540633693 ). Mungkin membantu dalam menemukan riwayat yang layak pada algoritma (baru dan lama).
MS Dousti

Jawaban:


38

Apa kompleksitas komputasi multiplikasi bilangan bulat? Dapat diperdebatkan, pertanyaan ini paling tidak berasal dari algoritma 'duplasi dan mediasi' untuk perkalian bilangan bulat yang dijelaskan dalam Rhind Mathematical Papyrus, yang ditulis sekitar tahun 1650 SM , tetapi mengklaim sebagai salinan dari dokumen yang jauh lebih tua.

Harus diakui, papirus Rhind tidak secara eksplisit mempertimbangkan kompleksitas algoritma. Jadi, mungkin jawaban yang lebih baik adalah Apa kompleksitas penyelesaian sistem persamaan linear? Penelitian tentang algoritma yang efisien untuk menyelesaikan sistem linier setidaknya berasal dari komentar Liu Hui, yang diterbitkan pada 263 M , pada The Nine Chapters on the Mathematical Art . Secara khusus, Liu Hui membandingkan dua varian dari apa yang sekarang dikenal sebagai eliminasi Gaussian, dan menghitung jumlah operasi aritmatika yang digunakan oleh masing-masing, dengan tujuan eksplisit untuk menemukan metode yang lebih efisien.

Kedua pertanyaan ini masih menjadi target penelitian aktif.


9
Tidak seperti Robin, saya pikir tidak masuk akal untuk mendesak pertanyaan yang diajukan dalam bentuk modernnya. Itu seperti memegang bukti sejarah dengan standar kekakuan kontemporer. Dengan standar itu, geometri aksiomatik dimulai dengan Klein, dan Euclid hanyalah seorang pria Yunani yang melambaikan tangan.
Jeff

6
"Dengan standar kekakuan modern, Euclid hanyalah seorang pria Yunani yang sedang menggerakkan tangan": itulah berikutnya .sig :)
Suresh Venkat

2
Saya pikir contoh seperti itu baik-baik saja. Yang ingin saya hindari adalah apa yang terjadi pada matematika yang meluap: Ada argumen tentang apakah orang Yunani mempertimbangkan beberapa masalah hanya karena mereka telah mempelajari beberapa masalah terkait. Hal lain yang ingin saya hindari adalah pertanyaan filosofis seperti "Apakah alam semesta deterministik" diubah menjadi masalah P versus BPP. Anda telah memberikan masalah khusus yang dianggap sebagai masalah komputasi oleh orang-orang yang mengajukannya, dan itu bisa diterima.
Robin Kothari

Pertanyaan ini sebagian telah diselesaikan untuk perkalian bilangan bulat online. arxiv.org/abs/1101.0768
felix

23

Pencarian untuk algoritma yang efisien untuk anjak piutang tampaknya kembali ke setidaknya Gauss. Artikel 329 Gauss ' Disquitiones Arithmeticae (1801) memiliki kutipan ( sumber ) berikut:

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

Tentu saja, memang benar bahwa Gauss tidak secara resmi mendefinisikan apa yang diinginkannya dari algoritma anjak piutang. Dia memang berbicara dalam artikel yang sama tentang fakta bahwa semua algoritma pengujian purba yang dikenal pada waktu itu sangat "melelahkan dan prolix".


2
Kutipan yang sangat bagus. Sangat bagus bagaimana Gauss jelas bahwa algoritma anjak piutang saat ini adalah "susah payah dan prolix"!
Robin Kothari

10

Berikut ini, dikutip dari

  • Goldwasser, S. dan Micali, S. 1982. Enkripsi probabilistik & cara bermain poker mental menjaga rahasia semua informasi parsial. Dalam Prosiding Simposium ACM Tahunan Keempat Belas tentang Teori Komputasi (San Francisco, California, Amerika Serikat, 05 - 07 Mei 1982). STOC '82. ACM, New York, NY, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Mengacu pada masalah lain sejak Gauss 'Disquitiones Arithmeticae (1801):

(qN)=1(qN)

PS: Sekarang, kita tahu dua dari empat masalah algoritmik :

  1. Anjak piutang (sebagaimana disebutkan oleh arnab);
  2. Memutuskan residu kuadratik.

apa dua masalah yang tersisa yang dijelaskan oleh Gauss?


9

Dalam literatur negara kita, ada pepatah, yang secara harfiah diterjemahkan sebagai "Teka-teki menjadi mudah ketika dipecahkan." Meskipun bukan terjemahan yang baik, ini merujuk pada fakta bahwa ketika Anda memiliki solusinya, Anda dapat dengan mudah memverifikasinya; namun sebelum itu, teka-teki itu tampak sangat sulit.

Ini merujuk pada masalah "FP vs. FNP" yang sekarang terkenal: Jika FNP = FP, verifikasi jawaban atas teka-teki itu semudah menemukannya. Namun jika FNP ≠ FP, maka ada "teka-teki" yang menemukan solusi jauh lebih sulit daripada memverifikasi solusi.

Saya percaya masalah ini adalah masalah terbuka TCS tertua, namun perumusannya yang teliti dimulai sekitar 30 tahun yang lalu!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

EDIT: "Bisakah kita faktor angka dalam waktu-poli" adalah masalah terbuka TCS lain, namun saya pikir ini lebih muda dari masalah yang disebutkan di atas.

Berikut dua daftar masalah terbuka TCS di web:

Kami juga memiliki daftar di CSTheory.


1
Karena saya membatasi ini pada perumusan masalah yang ketat, saya akan menebak bahwa pertanyaan tentang anjak piutang dan FP = FNP hanya dapat diformalkan begitu kita memiliki mesin Turing, dan waktu polinomial, dll.
Robin Kothari

@Robin: Anda mungkin tidak meminta masalah terbuka TCS lama yang diformalkan, jika bahkan tidak ada komputer di usia tua! :)
MS Dousti

1
@Sadeq: Saya tidak keberatan jika pertanyaan tertua ternyata menjadi pertanyaan yang diajukan pada tahun 1922. Saya bersikeras pada pertanyaan yang dinyatakan dengan tegas karena kalau tidak orang akan mengutip teks berusia 4000 tahun yang mengklaim bahwa beberapa kalimat tentang alam semesta adalah pertanyaan komputasi menyamar.
Robin Kothari

Tahun berapa masalah ini dirumuskan?
Dave Clarke

3
@Sadeq: Benar, tapi itu bukan pertanyaan P versus NP kecuali seseorang meresmikan model, dll. Maksud saya bisa sama-sama mewakili beberapa pertanyaan lain (katakanlah L versus NL, atau P / poli versus NP / poli, atau beberapa pertanyaan dalam bidang yang berbeda). Kedua, itu adalah kepercayaan umum, bukan sesuatu yang dianggap sebagai masalah terbuka. Itu bukan sesuatu yang membutuhkan bukti, dalam perumusan aslinya: itu hanya pengamatan tentang kehidupan.
Robin Kothari

3

Saya mempertanyakan teori bilangan Anda yang tidak termasuk yang melibatkan pertanyaan apakah beberapa set teoritik angka terbatas atau tidak terbatas sebagai bagian dari TCS dan pasti akan berdebat sebaliknya. orang-orang Yunani mempertanyakan apakah:

  • apakah ada angka sempurna yang aneh? [mungkin dipertimbangkan oleh Euclid]

  • apakah ada jumlah prima kembar yang tak terbatas?

TMxTMy

jadi bisa dibilang ini adalah dua masalah algoritmik kuno dan orang-orang Yunani memelopori TCS paling awal terutama dalam bentuk teori bilangan dan masalah teori bilangan awal hanyalah kasus khusus dari Turings yang menghentikan masalah, dan bukti awal awal untuk kesulitannya. dan ada hubungan erat antara menanyakan tentang / menemukan / mencari bukti dan teori yang tidak dapat dipungkiri.

bisa dibilang penelitian baru menunjukkan dugaan collatz, pernah dianggap sebagai keingintahuan teori bilangan, memiliki hubungan mendalam dengan teori komputabilitas, & mungkin terletak tepat di batas antara masalah yang tidak dapat diputuskan dan masalah yang dapat diputuskan. juga contoh Anda mengutip masalah ke-10 hilberts menunjukkan hubungan yang sangat mendasar antara teori bilangan dan TCS.

dua pertanyaan algoritmik kuno lainnya:

  • apa itu algoritma efisien, atau paling efisien untuk komputasi gcd, pembagi umum terbesar?

  • apa itu algoritma yang efisien, atau paling efisien untuk komputasi bilangan prima?

menyetujui pertanyaan ke-2 cukup erat kaitannya dengan anjak piutang, tetapi tentu saja tidak sama. itu dianggap oleh saringan dan euclid eratosthenes. tentu saja itu baru-baru ini ditunjukkan dalam P oleh AKS, tetapi bahkan kemudian algoritma tidak terbukti sepenuhnya optimal.

ada penelitian TCS yang sangat modern tentang algoritma euclids gcd (yaitu abad ke-20) yang menunjukkan bahwa angka-angka fibonacci memberikan kinerja kasus terburuk. [tidak yakin siapa yang pertama menunjukkan ini]

sampai algoritma euclids terbukti optimal, perhitungan gcd yang efisien tetap terbuka.


7
Saya tidak setuju dengan sebagian besar dari apa yang Anda katakan (fakta bahwa Anda dapat membangun semua jenis mesin Turing yang berhenti jika beberapa objek dugaan tidak membuat masalah keberadaan ini masalah komputabilitas). tetapi pada akhirnya Anda memiliki poin yang baik: secara deterministik menghasilkan bilangan prima dalam beberapa rentang adalah versi modern yang wajar dari pencarian lama untuk menemukan "formula bilangan prima". saya akan menang jika Anda menulis jawaban terfokus di sepanjang baris ini
Sasho Nikolov

1
Saya setuju dengan komentar di atas: dugaan Poincare dapat dirumuskan sebagai masalah penghentian untuk mesin Turing juga, tetapi tidak ada kemajuan yang dibuat dengan menggunakan teknik khusus dari komunitas CS. Hal yang sama dapat dikatakan untuk sejumlah masalah teoretis seperti itu, yang relevan secara komputasional.
cody

2

Tidak yakin seberapa serius jawaban ini, tapi ....

Itu benar-benar tergantung seberapa luas Anda bersedia mendefinisikan pertanyaan Anda.

Tentunya "dapatkah seseorang membangun mesin yang cerdas?" adalah pertanyaan terbuka tertua di CS yang memulai ilmu komputer, tetapi mungkin berusia satu atau dua milenium daripada CS. Tidak? (Ini adalah pertanyaan teori, karena ia meminta jawaban - bukan untuk mesin itu sendiri ...)

Referensi alami untuk mencari mesin cerdas adalah Golem ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History


0

Saya dapat menjawab pertanyaan Anda dengan kepastian 100% untuk jangka waktu tertentu. Jika kita mempertimbangkan periode dari makalah seminal Hartmanis dan Stearns sampai titik mana pun di masa depan, masalah tertua dalam TCS yang masih terbuka adalah:

Berapa overhead minimum yang diperlukan untuk simulasi TM deterministik?

T2(n)T(n)logT(n)

logT(n)


1
logT(n)

1
PNP

1
Ini bisa menggunakan beberapa klarifikasi, untuk kepentingan mereka yang tidak mengetahui makalah tersebut secara rinci: Jenis TM apa yang disimulasikan? Jenis mesin apa yang melakukan simulasi?
funkstar

Saya tidak percaya klarifikasi diperlukan. Bahwa model yang digunakan dalam makalah pertama adalah multitape TM adalah fakta yang sudah diketahui, karena berisi beberapa definisi inti TCS, ditambah lagi secara eksplisit disebutkan dalam judul makalah Hennie dan Stearns.
chazisop

1
Perumusan pertanyaan terbuka Anda masih terlalu kabur, menurut saya. Meskipun ini terkenal di masyarakat TOC yang Hartmanis, Hennie dan bekerja Stearns dengan TM multitape, yang hanya membuat jawaban Anda tidak membantu dengan yang di banyak bidang lain dari TCS. Anda harus mempertimbangkan setidaknya menambahkan kualifikasi "multitape" ke pertanyaan. (Dan bahkan kemudian, Anda memiliki masalah bahwa simulasi Hartmanis dan Stearns menggunakan 1-tape TM, sedangkan simulasi Hennie dan Stearns menggunakan 2-tape TM.)
funkstar
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.