Kesulitan dalam memahami algoritma kuantum untuk masalah subkelompok tersembunyi abelian

11

Saya mengalami kesulitan dalam memahami langkah-langkah terakhir dari algoritma AHSP. Mari menjadi grup abelian dan menjadi fungsi yang menyembunyikan subkelompok . Mari mewakili kelompok ganda . $G$ $f$ $H$ $G^*$ $G$

Berikut langkah-langkah algoritma

Pertama-tama persiapkan negara,

. $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$
Kemudian menerapkan oracle kuantum yang mengevaluasi pada , kita dapatkan $f$ $I$

. $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$
Sekarang ukur qubit kedua , kita dapatkan $I'$

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

untuk beberapa . $r \in G$
Sekarang kita menerapkan transformasi quantum fourier pada qubit pertama, kita dapatkan

, $\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$

di mana . $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Sekarang dari negara bagaimana kita bisa mendapatkan generator dari grup ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— pengguna774025
sumber

Saya sangat merekomendasikan membaca catatan kuliah Andrew Childs tentang AHSP. Mereka tersedia di math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— Robin Kothari

4

Post-processing klasik ini mengeksploitasi beberapa properti teoretis kelompok non-sepele dari grup Abelian. Saya menulis penjelasan didaktik tentang bagaimana algoritma klasik ini bekerja di sini [1] ; Sumber lain yang baik untuk dibaca adalah [ 2 , 3 , 4 ].

$H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

$H$ $H^{*}$

Teori Karakter

$G$ $G$

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

$H$ $H^*$ $H$ $H$

$H^*$ $G$
$H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$
$χ_{g} (h) = 1, for every g \in H^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

Persamaan Linear atas Grup

$X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (x) = b

$\alpha(x)=b$

A

$A$

A x = (\begin{matrix} a_{1} (1) & a_{2} (1) & \dots & a_{n} (1) \\ a_{1} (2) & a_{2} (2) & \dots & a_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{1} (m) & a_{2} (m) & \dots & a_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix} = b

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

$x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ untuk menulis ulang sistem dalam bentuk yang hampir diagonal (beberapa langkah menengah lainnya diperlukan, tetapi itu akan memberi Anda gambaran intuitif).

$H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— Juan Bermejo Vega
sumber

2

$I_m$ $\chi \in G^*$

$n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

$H$ $H^*$ $K$

$n$

— WJ Zeng
sumber