Kompleksitas penghitungan minor terpadat


13

Pertimbangkan masalah berikut.
Input: Grafik tidak berarah . Output: Grafik H yang merupakan minor G dengan kepadatan tepi tertinggi di antara semua anak di bawah umur G , yaitu, dengan rasio tertinggi | E ( H ) | / | V ( H ) | .G=(V,E)
HGG|E(H)|/|V(H)|

Apakah masalah ini sudah dipelajari? Apakah bisa dipecahkan dalam waktu polinomial atau NP-hard? Bagaimana jika kita mempertimbangkan kelas grafik terbatas seperti kelas dengan anak di bawah umur yang dikecualikan?

Jika kita meminta subgraf terpadat, masalahnya dapat dipecahkan dalam waktu polinomial . Jika kita menambahkan parameter tambahan dan meminta subgraph terpadat dengansimpul k , masalahnya adalah NP-complete (ini adalah pengurangan yang mudah dari k -clique).kkk


6
Makalah saya "Kepadatan keluarga grafik minor-tertutup" (Electronic J. Combinatorics 17 (1), Paper R136, 2010, combinatorics.org/Volume_17/Abstracts/v17i1r136.html ) adalah tentang anak di bawah umur terpadat, tetapi dalam keluarga grafik kecil-tertutup daripada dalam grafik individual. Anda mungkin menemukan sesuatu yang relevan dengan pertanyaan Anda di sana.
David Eppstein

Ini sepertinya terkait dengan pertanyaan berikut. Diberikan grafik berapakah ukuran klik kecil terbesar di G ? Apakah ada hasil yang diketahui? GG
Chandra Chekuri

2
Klik minor terbesar adalah NP-complete. Lihat makalah saya "Menemukan anak di bawah umur clique sulit", J. Grafik Algoritma dan Aplikasi 13 (2): 197-204, 2009, jgaa.info/accepted/2009/Eppstein2009.13.2.pdf
David Eppstein

Jawaban:


7

Oke, karena masih belum ada jawaban, biarkan saya setidaknya membuat beberapa pengamatan sederhana:

Untuk grafik treewidth terikat harus dimungkinkan untuk menemukan minor terpadat (atau bahkan minor dengan jumlah tepi dan simpul) dengan jenis program dinamis yang biasa pada dekomposisi pohon, di mana setiap keadaan program dinamis melacak jumlah tepi dan simpul pada bagian minor yang hidup dalam subtree dari dekomposisi, subset dari verteks dalam kantong dekomposisi yang berpartisipasi dalam minor, kesetaraan antar simpul dalam subset ini disebabkan oleh kontraksi minor pada keseluruhan grafik, dan penyempurnaan hubungan ekivalensi ini disebabkan oleh kontraksi di bagian anak-anak yang tinggal di subtree.

Jika demikian, akan mengikuti bahwa, ketika kepadatan di bawah tiga, harus mungkin untuk menemukan minor terpadat dalam waktu polinomial (dengan faktor konstan yang tergantung pada seberapa dekat dengan tiga kepadatannya). Sebab, grafik yang minor terpadatnya memiliki kepadatan memiliki anak-anak terlarang planar dan karenanya terikat treewidth.3ϵ


7

GkNGkdd/2 ) dan saya pikir bukti mereka dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa masalah menemukan minor terpadat adalah NP-lengkap juga.

kkO(n3)

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.