Definisi 18.30. Fungsi dengan l < n disebut sebagai generator pseudorandom ( s , ϵ ) aman ( s , ϵ ) jika untuk setiap sirkuit C ukuran s pada n variabel,
| P r [ C ( y ) = 1 ] - P r [ C ( G (G:{0,1}l→{0,1}nl<n(s,ϵ)Csn
mana y dipilih secara seragam secara acak dalam { 0 , 1 } n , dan x dalam { 0 , 1 } l .
|Pr[C(y)=1]−Pr[C(G(x))=1]|<ϵ,
y{0,1}nx{0,1}l
Definisi 18.31. Biarkan menjadi fungsi boolean. Kita mengatakan bahwa f adalah ( s , ϵ ) -barang jika untuk sirkuit C ukuran s ,
| P r [ C ( x ) = f ( x ) ] - 1f:0,1n→0,1f(s,ϵ)Cs
manaxdipilih secara seragam secara acak dalam{0,1}n.
|Pr[C(x)=f(x)]−12|<ϵ,
x{0,1}n
Generator fungsi pseudo-acak adalah fungsi boolean . Dengan mengatur variabel- y secara acak, kita memperoleh subfungsi acaknya f y ( x ) = f ( x , y ) . Biarkan h : { 0 , 1 } n → { 0 , 1f(x,y):{0,1}n+n2→{0,1}yfy(x)=f(x,y) menjadi fungsi boolean yang benar-benar acak. Sebuah generator f ( x , y ) aman terhadap Γ -attack jika untuk setiap rangkaian C di Γ ,
| P r [ C ( f y ) = 1 ] - P r [ C ( h ) = 1 ] | < 2 - n 2 .h:{0,1}n→{0,1}f(x,y)ΓCΓ
|Pr[C(fy)=1]−Pr[C(h)=1]|<2−n2.
Sebuah bukti alami terhadap Λ adalah properti Φ : B n → 0 , 1 memenuhi tiga kondisi berikut:
1. Kegunaan terhadap Λ : Φ ( f ) = 1 menyiratkan f ∉ Λ .
2. Kelemahan: Φ ( f ) = 1 untuk setidaknya 2 - O ( n ) fraksi dari semua fungsi 2 2 n f ∈ΓΛΦ:Bn→0,1
ΛΦ(f)=1f∉Λ
Φ(f)=12−O(n)22n .
3. Konstruktivitas: Φ ∈ Γ , yaitu, ketika dilihat sebagai fungsi boolean dalam N = 2 n variabel, properti Φ sendiri milik kelas Γ . f∈Bn
Φ∈ΓN=2nΦΓ
Teorema 18.35. Jika kelas kompleksitas berisi generator fungsi pseudo-acak yang aman terhadap serangan Γ, maka tidak ada Γ -bukti alami terhadap Λ .ΛΓΛ
Pertanyaannya adalah: 1. Apakah kita percaya jika ada fungsi keras seperti itu? 2. Seberapa konstruktif / besar apa yang kita harapkan dari properti pada bukti pemisahan yang mungkin saat ini?
Di sisi lain, Razbarov telah menyebutkan di berbagai tempat bahwa ia secara pribadi memandang hasilnya sebagai panduan untuk apa yang harus dihindari dan bukan sebagai hambatan penting untuk membuktikan batas bawah.
Relativization dan Aljabarisasi sedikit lebih rumit dan tergantung pada cara kita mendefinisikan relaztivization untuk kelas-kelas ini. Tetapi sebagai aturan umum diagonalisasi sederhana (diagonalisasi yang menggunakan contoh tandingan yang sama untuk semua mesin yang menghitung fungsi yang sama, yaitu contoh tandingan hanya bergantung pada mesin apa dalam komputasi yang lebih kecil dan tidak bergantung pada kode mereka dan bagaimana mereka menghitung ) tidak dapat memisahkan kelas-kelas ini.
Dimungkinkan untuk mengekstrak fungsi diagonalisasi yang tidak sederhana dari hasil diagonalisasi tidak langsung seperti batas waktu ruang-batas yang lebih rendah untuk SAT.