Sirkuit Boolean terkecil untuk menghasilkan bahasa


10

Pertimbangkan bahasa tidak kosong panjang string biner . Saya dapat menggambarkan dengan rangkaian Boolean dengan input dan satu output sedemikian rupa sehingga benar iff : ini sudah terkenal.n L C n C ( w ) w LLnLCnC(w)wL

Namun, saya ingin mewakili dengan Boolean sirkuit dengan output dan sejumlah masukan, mengatakan , sehingga himpunan nilai-nilai output untuk masing-masing kemungkinan input adalah persis .C n m C 2 m LLCn mC2mL

Mengingat , bagaimana saya bisa menemukan sirkuit dengan ukuran minimal, dan apa kerumitannya? Apakah ada hubungan antara batas yang diketahui tentang ukuran sirkuit jenis pertama ( ) dan sirkuit jenis kedua ( ) ini, atau kompleksitas menemukannya?C C C LCCC

(Perhatikan bahwa ada semacam dualitas dalam pengertian berikut: mengingat , saya dapat dengan mudah memutuskan apakah kata input ada dalam dengan mengevaluasi rangkaian, tetapi pada umumnya NP-hard untuk menemukan beberapa kata dalam dengan menemukan sebuah tugas sedemikian rupa sehingga hasilnya benar. Mengingat itu juga NP-sulit untuk memutuskan apakah beberapa kata input dalam karena saya harus melihat apakah tugas menghasilkan sebagai output, tetapi mudah untuk menemukan beberapa kata dalam dengan mengevaluasi sirkuit pada input sembarang.)w L L C w L w LCwLLCwLwL


2
Makalah ini tidak menjawab pertanyaan Anda, tetapi mempelajari jenis sirkuit yang Anda cari eccc.hpi-web.de/report/2012/079
Marcos Villagra

dari komentar Anda di bawah ini tampaknya Anda lebih ingin mempertimbangkan keluarga sirkuit di mana tidak terbatas. tebak fungsi Anda juga harus bersifat surjektif dan tidak bisa menjadi kata sifat secara umum ...L
vzn

1
Bagaimana diberikan? Dengan sirkuit ? CLC
usul

Jawaban:


11

Saya akan menunjukkan koneksi sederhana ke sirkuit nondeterministic, dan berkomentar singkat tentang kekerasan kriptografi.

Untuk , tentukan kerumitan gambar, yang dilambangkan , sebagai jumlah gerbang minimal dalam setiap (fanin-two, AND / OR / NOT) sirkuit Boolean yang gambarnya . Pertanyaannya bertanya tentang kompleksitas komputasi , diberikan representasi tabel kebenaran (string dengan panjang ). i m c ( S ) C : { 0 , 1 } m{ 0 , 1 } n S i m c ( S ) S 2 nS{0,1}nimc(S)C:{0,1}m{0,1}nSimc(S)S2n

Juga menentukan kompleksitas rangkaian nondeterministic dari , yang kita menotasikan , sebagai terkecil nondeterministic sirkuit menerima persis . Yaitu, kita membutuhkan yang iff . Ini adalah gagasan standar, yang digunakan untuk mendefinisikan kelas non-seragam : ini adalah kelas semua set , dengan , sedemikian rupa sehingga .n c c ( S ) C ( x , y ) : { 0 , 1 } n + m { 0 , 1 } S C x S y : C ( x , y ) = 1 N P / p o l y S = { S n } n > 0Sncc(S)C(x,y):{0,1}n+m{0,1}SCxSy:C(x,y)=1NP/polyS={Sn}n>0 n c c ( S n ) p o l y ( n )Sn{0,1}nncc(Sn)poly(n)

Yang ingin saya tunjukkan adalah bahwa . Kedua arah ketidaksetaraan ini mudah diverifikasi. imc(S)=ncc(S)±O(n)

Biarkan menunjukkan kompleksitas sirkuit deterministik. Menggunakan Razborov-Rudich, makalah yang disebutkan oleh Dai Le menunjukkan (secara kasar berbicara di sini) bahwa berdasarkan asumsi kriptografi tertentu, secara komputasi sulit untuk membedakan tabel kebenaran dengan kecil, dari tabel kebenaran benar-benar acak ( dengan hampir-maksimal). Random juga memiliki hampir-maksimal, dan kami tentu saja memiliki . Jadi masalah Anda sulit di bawah asumsi yang sama.S d c c ( S ) S d c c ( S ) S n c c ( S ) n c c ( f ) d c c ( f )dcc(S)Sdcc(S)Sdcc(S)Sncc(S)ncc(f)dcc(f)

Manakah yang lebih sulit untuk dihitung dengan diberikan tabel kebenaran untuk , atau ? Apakah ada pengurangan? Saya tidak tahud c c ( S ) n c c ( S )Sdcc(S)ncc(S)


5

Anda harus melihat makalah ini oleh Kabanets dan Cai. Saya akan mengutip abstrak dari makalah ini:

Kami mempelajari kompleksitas masalah minimisasi rangkaian: dengan tabel kebenaran fungsi Boolean dan parameter s , tentukan apakah f dapat diwujudkan dengan ukuran sirkuit Boolean paling banyak di s . Kami berpendapat mengapa masalah ini tidak mungkin di P (atau bahkan di P / p o l y ) dengan memberikan sejumlah konsekuensi mengejutkan dari asumsi semacam itu. Kami juga berpendapat bahwa membuktikan masalah ini menjadi N P -Lengkap (jika memang benar) akan berarti membuktikan sirkuit yang kuat batas bawah untuk kelas E , yang muncul di luar teknik yang dikenal saat ini.fsfsPP/polyNPE

CF:{0,1}mLC1,C2,,CnCiithFCi{0,1}m{0,1}Ci


fCfLf

Saya baru saja memperbarui jawaban saya untuk menanggapi komentar Anda.
Dai Le

1
CiCiL{000,001,010,011}C2C3
a3nm

1
Saya telah menambahkan lebih banyak penjelasan.
Dai Le

1
CFFLCfC
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.