Fungsi Boolean yang tidak konstan pada subruang affine dari dimensi yang cukup besar

Saya tertarik dengan fungsi Boolean eksplisit $f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$ dengan properti berikut: jika $f$ konstan pada beberapa subruang affine dari $\\{0,1\\}^n$ , maka dimensi dari subruang ini adalah $o(n)$ .

Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa fungsi simetris tidak memuaskan properti ini dengan mempertimbangkan subruang $A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$ . Setiap memiliki tepat 's dan karenanya adalah konstanta subruang dari dimensi . $x \in A$ $n/2$ $1$ $f$ $A$ $n/2$

Cross-post: /mathpro/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

— Alexander S. Kulikov
sumber

Apakah rentang f dimaksudkan sebagai {0,1} bukan {0,1} ^ n? Kalau tidak, saya pikir jawabannya adalah sepele (f dapat menjadi pemetaan identitas).

— Tsuyoshi Ito

Oh, maaf, kisarannya adalah {0,1}, tentu saja. Tetap.

— Alexander S. Kulikov

Karena Anda meminta konstruksi eksplisit, saya rasa metode probabilistik menghasilkan bukti eksistensial. Tebakan liar: Apa yang terjadi jika kita mengidentifikasi {0,1} ^ n dengan bidang berhingga dari urutan 2 ^ n dan biarkan f (x) = 1 jika dan hanya jika x sesuai dengan kuadrat di bidang berhingga? Himpunan residu kuadrat modudo prima sering terlihat acak, dan sekarang kita membutuhkan seperangkat vektor yang terlihat acak, sehingga menggunakan himpunan kotak di bidang terbatas terdengar seperti kandidat alami. (Saya belum mengerjakan ini sama sekali, dan ini mungkin jauh dari sasaran.)

— Tsuyoshi Ito

Cross diposting di MO . Harap tambahkan tautan ke pertanyaan Anda saat Anda melakukan posting silang.

— Kaveh

Perhatikan juga bahwa crossposting simultan tidak disarankan .

— Tsuyoshi Ito

Jawaban:

Objek yang Anda cari disebut disperser affine tanpa biji dengan satu bit keluaran. Lebih umum, disperser tanpa biji dengan satu bit keluaran untuk keluarga dari himpunan bagian dari adalah fungsi sedemikian rupa sehingga pada setiap subset , fungsi $\mathcal{F}$ $\{0,1\}^n$ $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $S \in \mathcal{F}$ tidak konstan. Di sini, Anda tertarik menjadi keluarga ruang bagian affine $f$ $\mathcal{F}$

Ben-Sasson dan Kopparty di "Affine penyebar dari Subruang Polinomial" tegas membangun penyebar affine tanpa biji untuk subruang dimensi setidaknya . Detail lengkap dari disperser agak terlalu rumit untuk dijelaskan di sini. $6n^{4/5}$

Kasus yang lebih sederhana yang juga dibahas dalam makalah ini adalah ketika kita menginginkan disperser afin untuk subruang dimensi . Kemudian, konstruksi mereka memandang sebagai dan menentukan disperser menjadi , di mana menunjukkan peta jejak: $2n/5+10$ ${\mathbb{F}}_2^n$ ${\mathbb{F}}_{2^n}$ $f(x) = Tr(x^7)$ $Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$ . Properti utama daritrace mapadalah bahwa . $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$ $Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

— arnab
sumber

Terima kasih banyak, Arnab! Sepertinya inilah yang saya butuhkan, tetapi jelas saya perlu waktu untuk membaca makalah ini. =)

— Alexander S. Kulikov

Rekaman video ceramah oleh Swastik di kertas ada di sini: video.ias.edu/csdm/affinedispersers

— arnab

Sekali lagi terima kasih, Arnab! Saya harap video ini akan membantu saya untuk memahami makalah ini (setelah membaca beberapa halaman pertama saya melihat bahwa ini cukup rumit).

— Alexander S. Kulikov

Fungsi yang memenuhi sesuatu yang mirip dengan (tetapi jauh lebih lemah dari) apa yang Anda inginkan adalah penentu matriks atas . Hal ini dapat menunjukkan bahwa determinan dari suatu matriks adalah non-konstan pada setiap ruang bagian affine dimensi setidaknya $\mathbb{F}_2$ $n\times n$ $n^2 - n$ .

— Ramprasad
sumber

Terima kasih, Ramprasad! Ini memang jauh lebih lemah dari yang saya inginkan. Tapi tetap saja, bisakah Anda memberikan tautan?

— Alexander S. Kulikov

Saya tidak tahu tempat di mana ini ditulis tetapi buktinya tidak sulit. Untuk membuktikan klaim di atas, itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa jika Anda mengambil determinan dari suatu

matriks dengan variabel dalam setiap entri, maka polinomial adalah non-nol modulo

fungsi linear. Perhatikan bahwa modulo akan fungsi linier hanya mengganti salah satu entri dengan fungsi linier dari vars lainnya. Karenanya, kami ingin menunjukkan bahwa mengganti hanya entri

tidak dapat membunuh determinan. Seharusnya mudah untuk melihat bahwa hanya dengan permutasi, kita dapat memindahkan semua entri

atas diagonal. [cntd]

n \times n

$n\times n$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

— Ramprasad

Setelah semua entri ini bergeser di atas diagonal, tentu saja faktor penentu tetap tidak nol (karena semua entri di bawah dan termasuk diagonal independen, kita dapat membuat diagonal bawah sepenuhnya nol dan diagonal menjadi elemen bukan nol untuk memberikan determinan bukan nol). Satu-satunya trik di sini adalah bahwa semua entri

dapat digeser di atas diagonal.

n - 1

$n-1$

— Ramprasad

Terima kasih, Ramprasad! Ini memang tidak sulit dilihat.

— Alexander S. Kulikov