Penutup Segitiga Minimum

Diberi grafik , berapakah jumlah minimum tepi yang perlu kita hapus untuk membuat segitiga grafik bebas? Bagi mata saya yang tidak terlatih, ini tampaknya merupakan masalah yang sulit.$G$$G$

Apakah masalah ini diketahui sebagai NP-complete? Bagaimana dengan analog untuk grafik berorientasi (yaitu, digraf tanpa tepi paralel) dan diarahkan 3-siklus? Referensi akan sangat dihargai!

EDIT: David telah sangat membantu menjawab pertanyaan saya, dalam kasus yang tidak diarahkan, di bawah ini. Setiap informasi pada versi yang diarahkan / berorientasi akan sangat dihargai.

Versi tidak diarahkan adalah NP-hard. Lebih khusus lagi, masalah berikut ini, yang dikenal sebagai Partial Feedback Edge Set adalah NP-complete: diberikan grafik tidak terarah  , dan bilangan bulat positif dan , apakah ada satu set paling banyak  tepi yang mengandung setidaknya satu sisi dari setiap siklus panjang paling  di  . Ini masih NP-complete untuk semua fix , dan jika  dibatasi menjadi bipartit (dalam hal ini,  juga dapat diperbaiki dengan nilai sekurang-kurangnya  ).$G$$K$$L$$K$$L$$G$$L\geq 3$$G$$L$$4$

Untuk kasus terarah, bukti Karp bahwa Feedback Arc Set adalah NP-complete sebenarnya menunjukkan bahwa NP-complete untuk menentukan apakah Anda dapat menghapus semua sepeda yang diarahkan dari grafik berorientasi dengan menghapus paling banyak  edge. (Pengurangannya dari Vertex Cover menghasilkan grafik bebas segitiga yang berorientasi di mana menghapus semua sepeda menghapus semua siklus.) Tapi bukan itu yang Anda tanyakan.$4$$k$$4$

Sumber: Versi tidak terarah adalah masalah GT9 dari Garey dan Johnson, Computers and Intractability (Freeman, New York, 1979). Makalah asli adalah masalah Yannakakis, Node- dan edge-deletion NP-complete (Proceedings of STOC 1978) tetapi tampaknya tidak mengandung bukti. Umpan Balik Karp's Feedback Arc Set ada di halaman "21 masalah" kertas: Pengurangan di antara masalah kombinatorial (Prosiding simposium pada Kompleksitas Komputasi Komputer, 1972).