Anjak polinomial tingkat rendah

Apa algoritma tercepat yang dikenal untuk memfaktorkan polinomial dengan variabel dan derajat total ≤ d ? Di sini, n tumbuh dan d diperbaiki. Sebagian besar pekerjaan tampaknya mempertimbangkan kasus ketika d tumbuh dan n diperbaiki. Saya tertarik pada hasil, baik di bidang terbatas maupun rasional.$n$$\leq d$$n$$d$$d$$n$

Biarkan menjadi bidang karakteristik 0 atau setidaknya d ( d - 1 ) + 1 , dan p ∈ K [ x 1 , … , x n ] menjadi polinomial total derajat paling banyak d . Jika d adalah tetap dan n bertambah, seseorang memiliki kompleksitas sebagai berikut untuk pengurangan faktorisasi p ke faktorisasi derajat -d polinomial univariat: (Notasi ˜ O ( ⋅ $\mathbb K$$0$$d(d-1)+1$$p\in\mathbb K[x_1,\dotsc,x_n]$$d$$d$$n$$p$$d$$\tilde{\mathcal O}(\cdot)$ mengabaikan faktor logaritmik.)

1. Algoritme deterministik:

   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+d}{n}^4 \right)$
   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+2d-2}{n-1} d^\omega \right)$$2<\omega\le 3$

2. Algoritma probabilitas:

   • $\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$ operasi lapangan, jika algoritma multiplikasi cepat tersedia.

Kemudian, kita harus pd sebuah univariat degree- polinomial. Kompleksitas langkah ini tidak bergantung pada lagi, sehingga batas di atas tetap valid untuk algoritma faktorisasi lengkap. Satu-satunya perbedaan adalah dalam karakteristik positif: Karena tidak ada algoritma waktu polinomial deterministik diketahui faktor polinomial univariat, bahkan pengurangan deterministik menghasilkan algoritma probabilistik. Meskipun demikian, jika benar-benar tetap dan kecil, seseorang dapat mengganti algoritma polinomial-waktu probabilistik dengan yang waktu-eksponensial deterministik.n $d$$n$$d$

Perhatikan bahwa batas probabilistik optimal hingga faktor logaritmik karena adalah ukuran dari memasukkan.(n+$\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$$\binom{n+d}{n}$

Rincian lebih lanjut dapat ditemukan dalam makalah Algoritma faktorisasi polinomial polinomial multivariat padat yang ditingkatkan dari Grégoire Lecerf ( tautan tanpa paywall ).

Referensi lain, terutama untuk bidang dengan karakteristik kecil, adalah EL Kaltofen & G. Lecerf, Faktorisasi polinomial multivariat ( tautan tanpa paywall ), bab 11.5 dari GL Mullen dan D. Panario, editor, Handbook of the finite field .

¹ Hasilnya perlu mengasumsikan bahwa .$\omega>2$