Co-NP-kelengkapan tur TSP minimal?

Masalah ini muncul dari postingan blog saya yang baru , seandainya Anda diberi tur TSP, apakah itu lengkap dengan NP-nya untuk menentukan apakah itu minimal?

Lebih tepatnya adalah masalah berikut NP-lengkap:

Instance: Diberikan grafik G lengkap dengan tepi tertimbang dengan bilangan bulat positif dan siklus C sederhana yang mengunjungi semua node G.

Pertanyaan: Apakah ada siklus D sederhana yang mengunjungi semua simpul G sedemikian sehingga bobot total semua tepi D dalam G benar-benar lebih kecil daripada berat total semua tepi C dalam G?

Sketsa pengurangan yang mungkin untuk membuktikan bahwa itu NP-lengkap.

Secara informal itu dimulai dari formula 3SAT yang dimodifikasi yang digunakan untuk menunjukkan bahwa 3SAT adalah ASP-complete (Another Solution Problem), dan "mengikuti" rantai standar reduksi 3SAT => HAMCYCLE LANGSUNG => HAMCYCLE TIDAK TERPASANG => TSP

• Mulai dengan rumus 3SAT dengan variabel dan caluses ;n x 1 , . . . x n m C 1 , . . . , C $\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Trasformkan ke rumus baru $\varphi'$ menambahkan variabel baru $t$ ...;
• ... dan memperluas setiap klausa $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$ ke $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$ ;
• Dari bangun grafik struktur berlian digunakan untuk membuktikan bahwa SIKLUS HAMILTONIAN LANGSUNG adalah NP-Lengkap; misalkan setiap klausa sesuai dengan simpul di ; G = { V , E } C j N j$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Ubah menjadi grafik menggantikan setiap simpul dengan tiga simpul tertaut dan modifikasi tepinya sesuai dengan reduksi standar yang digunakan untuk membuktikan kelengkapan NP dari SIKLUS HAMILTONIAN TIDAK TERDIRI dari SIKLUS HAMILTONIAN yaitu adalah simpul yang digunakan untuk tepi masuk, adalah simpul yang digunakan untuk tepi keluar;G ′ = { V ′ , E ′ } u u 1 , u 2 , u 3 u 1 u $G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• Konversikan instance CYCLE HAMILTONIAN TIDAK LANGSUNG pada menjadi instance TSP di mana semua tepi memiliki bobot , kecuali tepi (unik) pada berlian pergi ke penugasan "positif" dari yang memiliki bobot (tepi merah pada gambar di bawah); akhirnya tepi yang ditambahkan untuk membuat lengkap memiliki bobot . T G ′ w = 1 t w = 2 G ′ w = $G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Jelas bahwa instance TSP memiliki siklus sederhana yang mengunjungi semua node yang sesuai dengan penugasan yang memuaskan dari di mana (dan tur ini dapat dengan mudah dibangun dalam waktu polinomial), tetapi ia memiliki bobot total (karena menggunakan tepi yang sesuai dengan tugas yang memiliki bobot 2). memiliki siklus sederhana lain yang mengunjungi semua node dengan berat total lebih rendahjika dan hanya jika ujung bobot yang sesuai dengan penugasan tidak digunakan; atau setara jika dan hanya jika ada tugas lain yang memuaskan dari$T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$$2$$t = true$$\varphi'$di mana ; tetapi ini bisa benar jika dan hanya jika rumus asli memuaskan.$t = false$$\varphi$

Saya akan berpikir lebih banyak tentang itu, dan saya akan menulis bukti formal (jika ternyata tidak salah :-). Beri tahu saya jika Anda membutuhkan perincian lebih lanjut tentang satu atau lebih pasal di atas.

Seperti dicatat oleh domotorp, konsekuensi yang menarik adalah bahwa masalah berikut adalah NP-complete: Diberikan grafik dan jalur Hamilton di dalamnya, apakah memiliki siklus Hamilton?$G$$G$

Papadimitriou & Steiglitz (1977) telah menunjukkan NP-kelengkapan masalah ini.