Kelas kompleksitas masalah ini?

Saya mencoba memahami kelas kompleksitas mana yang termasuk masalah berikut:

Memecahkan Masalah Polinomial Root (EPRP)

Biarkan be polinomial dengan dengan koefisien diambil dari bidang yang terbatas dengan bilangan prima, dan akar primitif untuk bidang itu. Tentukan solusi dari: (atau ekuivalen, angka nol dari ) di mana sarana exponentiating . $p(x)$ $\deg(p) \geq 0$ $GF(q)$ $q$ $r$

p (x) = r^{x}

$p(x) = r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) - r^x$

r^{x}

$r^x$

r

$r$

Perhatikan bahwa, ketika (polinom adalah konstanta), masalah ini kembali ke Masalah Logaritma Diskrit, yang diyakini sebagai NP-Menengah, yaitu di NP tetapi tidak di P atau NP-lengkap. $\deg(p)=0$

Sejauh pengetahuan saya, algoritma (polinomial) yang efisien untuk menyelesaikan masalah ini tidak ada (algoritma Berlekamp dan Cantor-Zassenhaus membutuhkan waktu yang eksponensial). Menemukan akar persamaan tersebut dapat dilakukan dengan dua cara:

Coba semua item yang mungkin di bidang, dan periksa apakah mereka memenuhi persamaan atau tidak. Jelas, ini membutuhkan waktu eksponensial dalam bitsize modulus bidang; $x$
Eksponensial dapat ditulis dalam bentuk polinomial, dengan menggunakan Lagrange interpolasi untuk interpolasi titik-titik , menentukan polinomial . Polinomial ini identik dengan justru karena kita bekerja pada bidang yang terbatas. Kemudian, perbedaannya $r^x$ $\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}$ $f(x)$ $r^{x}$ , dapat diperhitungkan untuk menemukan akar dari persamaan yang diberikan (menggunakan algoritma Berlekamp atau Cantor-Zassenhaus) dan akar membaca faktor-faktor. Namun, pendekatan ini bahkan lebih buruk daripada pencarian lengkap: karena, rata-rata, melewati polinomial oleh poin yang diberikan akan memilikikoefisien -nol, bahkan hanya input untuk interpolasi Lagrange akan membutuhkan ruang eksponensial dalam ukuran bit bidang. $p(x) - f(x)$ $n$ $n$

Apakah ada yang tahu jika masalah ini diyakini sebagai NP-intermediate juga atau milik kelas kompleksitas lainnya? Referensi akan sangat dihargai. Terima kasih.

— Massimo Cafaro
sumber

Maaf, maksud saya diyakini NP menengah. Saya mengedit pertanyaan untuk mencerminkan hal ini.

— Massimo Cafaro

p (x) = r^{x}

$p(x)=r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) -r^x$

p (x) - f (x)

$p(x) - f(x)$

f (x)

$f(x)$

Bukankah logaritma diskrit merupakan kasus khusus? Jadi setidaknya sekeras root diskrit dan jelas dalam NP. Jika Anda percaya log diskrit adalah NPI maka yang ini juga. Anda mungkin ingin bertanya apakah ada algoritma kuantum yang efisien untuk masalah tersebut.

— Kaveh

@ Kaveh: Disebutkan dalam pertanyaan bahwa log diskrit adalah kasus khusus. Masalah ini bisa lebih sulit (NP-selesai), meskipun saya kira mereka sama. Tapi Anda benar bahwa mencari algoritma polinom cukup sia-sia.

— domotorp

crossposted: mathoverflow.net/questions/154721/…

— domotorp

-5

akan mencoba menjawab ini. tidak ada referensi yang diberikan dalam pertanyaan tetapi diberikan akronim "EPRP" seolah-olah lebih dari satu orang telah mempelajarinya. apakah ada yang tahu kalau itu masalahnya? penanya MC tampaknya memiliki bkg yang signifikan di bidang ini tetapi akan sangat membantu untuk mendaftar beberapa referensi "terdekat" yang diketahui / ditinjau untuk memahami mengapa mereka memiliki beberapa celah yang tidak (?) membahas kasus yang seharusnya khusus ini.

biasanya membantu untuk menemukan "referensi terdekat yang tersedia" dan menentukan bagaimana masalahnya berbeda atau serupa. di sini adalah referensi komprehensif yang tampaknya mempertimbangkan masalah yang terkait erat. berpikir bahwa penanya MC harus mencoba menemukan kasus terdekat dari masalah dalam referensi ini, atau mungkin yang lain, dan kemudian menunjukkan bagaimana kasus ini ditanyakan secara khusus berbeda dari kasus-kasus masalah umum yang diberikan dalam referensi. wasit memiliki daftar panjang referensi terkait untuk juga memeriksa masalah terdekat / terkait. dia mempertimbangkan kompleksitas masalah dan memberikan algoritma P-time yang efisien untuk berbagai kasus.

TENTANG MEMENUHI PERSAMAAN POLINOMIAL UNIVARIAT OLEH BIDANG HINGGA DAN BEBERAPA MASALAH TERKAIT Tsz Wo Sze, Doctor of Philosophy, 2007

... kami menyajikan algoritma waktu polinomial deterministik untuk menyelesaikan persamaan polinomial atas beberapa keluarga bidang terbatas. Perhatikan bahwa persamaan polinomial adalah konstruksi yang kuat. Banyak masalah dapat dirumuskan sebagai persamaan polinomial.

— vzn
sumber

"jawaban" ini harus berupa komentar dengan tautan ke tesis.

— Sasho Nikolov

@vzn, algoritma utama (berlekamp, Cantor-Zassenhaus dan interpolasi Lagrange) telah dikutip dalam pertanyaan saya dan Anda dapat dengan mudah menemukan berton-ton bahan terkait yang mencari di web. Saya bahkan dapat menambahkan algoritma Shoup di sini, tetapi saya tidak dapat menambahkan referensi tunggal di mana masalah ini telah diselidiki. Akronim "EPRP" hanyalah cara untuk merujuk masalah, Anda tidak akan menemukannya dalam literatur. Bagaimanapun, saya telah memeriksa referensi yang Anda berikan dengan baik, tetapi masalah yang dipelajari terlalu mudah dan berdasarkan pada penyederhanaan asumsi yang, sayangnya, tidak berlaku dalam kasus saya.

— Massimo Cafaro

Juga, masalah yang dipelajari dalam Ph.D. tesis ini bukan "umum": itu adalah masalah khusus, dengan asumsi yang disederhanakan yang membuatnya mudah ditelusuri. Pekerjaan yang sangat menarik dan solid, tetapi, jika Dr. Tsz Wo Sze telah memecahkan EPRP dengan algoritma waktu polinomial, ia mungkin telah dianugerahi medali Fields sekarang ;-)

— Massimo Cafaro

x

$x$

ϕ (ϕ (q))

$\phi(\phi(q))$

@VZN: hai Bung, mengapa Anda terus-menerus mengendalikan situs ini? Sudah jadi lelucon. Anda jelas seorang wannabe ilmu komputer (Anda bahkan tidak menggunakan identitas asli Anda seperti ilmuwan sungguhan lainnya di sini seperti Shor dan Growchow, dll.

— William Hird