Apakah ada bahasa pohon reguler di mana tinggi rata-rata pohon ukuran bukanlah atau ?

Kami mendefinisikan bahasa pohon biasa seperti dalam buku TATA : Ini adalah kumpulan pohon yang diterima oleh otomat pohon terbatas non-deterministik (Bab 1) atau, setara, serangkaian pohon yang dihasilkan oleh tata bahasa pohon biasa (Bab 2). Kedua formalisme memiliki kemiripan yang erat dengan analog string yang terkenal.

Apakah ada bahasa pohon reguler di mana tinggi rata-rata pohon ukuran bukanlah atau ? $n$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

Jelas ada bahasa pohon sedemikian rupa sehingga ketinggian pohon linear dalam ukurannya; dan dalam buku Combinatorics Analytic ditunjukkan misalnya bahwa pohon biner berukuran memiliki tinggi rata-rata . Jika saya memahami Proposisi VII.16 (hal.537) dari buku yang disebutkan dengan benar, maka ada subset luas dari bahasa pohon reguler yang memiliki tinggi rata-rata , yaitu yang menggunakan bahasa pohon juga merupakan varietas pohon sederhana yang memenuhi beberapa kondisi tambahan. $n$ $2\sqrt{ \pi n}$ $\Theta(\sqrt{n})$

Jadi saya bertanya-tanya apakah ada bahasa pohon reguler yang menunjukkan ketinggian rata-rata yang berbeda atau apakah ada dikotomi sejati untuk bahasa pohon biasa.

Catatan: Pertanyaan ini telah diajukan sebelumnya pada Ilmu Komputer , namun belum dijawab selama lebih dari tiga bulan. Saya ingin memposting ulang di sini karena pertanyaannya terlalu lama untuk dimigrasi dan karena masih ada minat pada pertanyaan itu. Berikut ini tautan ke pos asli.

— john_leo
sumber

Pohon tunggal dengan kedalaman konstan adalah jawaban yang jelas: o (\ sqrt {n}) tetapi bukan . Saya percaya Anda mungkin bermaksud beberapa pertanyaan lain? Ganti dengan mungkin?

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Joseph Stack

Iya dan tidak. Saya pikir bahasa pohon biasa dengan kedalaman rata-rata (katakanlah) juga akan sangat menarik. Tapi Anda benar karena kita harus mengecualikan kasus-kasus yang merosot seperti itu. Mungkin kita harus meminta bahasa pohon mengandung banyak elemen?

O (n^{1 / 3})

$O(n^{1/3})$

— john_leo

Jenis pohon apa yang ada dalam pikiran Anda? Peringkat pohon, pohon yang dipesan saudara tanpa urutan, pohon tanpa urutan; dan, omong-omong, jenis pohon automata apa yang Anda maksud, dari bawah ke atas atau dari atas ke bawah?

— fh

@JosephStack bagaimana ketinggian pohon biasa menjadi tak terbatas? Pohon dengan node tidak dapat memiliki ketinggian lebih besar dari .

n

$n$

n

$n$

— john_leo

@ Raphael: Jika Anda tidak mempertimbangkan , tidak jelas bagi saya apa pertanyaannya. Jawaban untuk "apakah ada bahasa pohon reguler yang tak terbatas sehingga tinggi rata-rata adalah fungsi dengan dan " adalah jelas ya: pastikan untuk aneh Anda memiliki dan bahkan yang . PS setiap fungsi yang dapat saya bayangkan milik untuk beberapa , jadi ini bukan perbaikan yang benar :)

lim sup

$\lim\sup$

f

$f$

f (n) \notin Θ (\sqrt{n})

$f(n)\notin \Theta(\sqrt{n})$

f (n) \notin Θ (n)

$f(n)\notin\Theta(n)$

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

Θ (g)

$\Theta(g)$

g \notin {\sqrt{n}, n}

$g\notin\{\sqrt{n},n\}$

— Joseph Stack

Saya percaya bahwa jawabannya adalah seperti yang Anda sarankan bahwa tidak ada asimptotik selain , dan adalah mungkin. Rute yang menjanjikan untuk membuktikan ini bisa dengan menerapkan teknik dari makalah yang menurunkan asimtotik ke pohon run dari bahasa biasa. Perhatikan bahwa sebuah pohon diterima jika ada pohon run sehingga harus dimungkinkan untuk terlebih dahulu menurunkan (menggunakan loc.cit. ) Ketinggian rata-rata pohon run yang dihasilkan secara acak dan mengambilnya dari sana, yaitu menunjukkan bahwa memproyeksikan jauh negara tidak tidak mengubah ketinggian rata-rata. $\Theta(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

— Martin Hofmann
sumber

Saya pikir ini adalah komentar dan bukan jawaban karena jauh dari jelas apakah upaya ini berhasil.

— Danny