Bijections input-terbatas dari sekuens tak terbatas

Ini adalah teka-teki yang belum berhasil saya pecahkan. Saya ingin tahu apakah masalah ini sudah diketahui, atau memiliki solusi yang mudah.

Dimungkinkan untuk mendefinisikan sebuah bijection menggunakan properti dari kategori tertutup bicartesian. Andrej Bauer memposting penjelasan tentang apa artinya ini di blognya sebagai " Permata konstruktif: juggling eksponensial ". $3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

Bijection ini memiliki sifat yang menarik: itu adalah "input-terikat" yang berarti bahwa setiap komponen output hanya bergantung pada banyak komponen input. Namun, untuk tampaknya konstruksi ini hanya dapat menunjukkan bahwa dan adalah isomorfik jika dan keduanya ganjil atau keduanya genap. Ini membuka pertanyaan: $k,l\geq 2$ $k^\mathbb{N}$ $l^\mathbb{N}$ $k$ $l$

Apakah ada input input terbatas dari $2^\mathbb{N}$ hingga $3^\mathbb{N}$ ?

Berikut ini adalah catatan singkat yang menjelaskan masalah ini secara lebih rinci: Sebuah dugaan tentang bijections input-terbatas dari sekuens tak terbatas .

Definisi:

Fungsi $f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$ adalah input-terikat jika ada bilangan bulat $k$ sehingga setiap komponen output $f$ hanya bergantung pada paling banyak komponen $k$ dari input. Secara lebih formal, $f$ dibatasi-input jika untuk setiap indeks $j \in J$ ada indeks $i_1,\dotsb,i_k \in I$ dan fungsi $f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x \in X$ komponen $f(x)_j$ sama dengan $f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$ .

Bijection $f$ adalah bijih input-terikat jika itu adalah fungsi input-terikat.

Sebuah bijection $f$ adalah isomorfisme input-terikat jika ia dan fungsi inversnya adalah fungsi input-terikat. Ini juga menarik.

puzzles ct.category-theory topology

— Colin McQuillan
sumber

Mungkin lebih baik untuk menyalin definisi "input input terbatas" dari catatan Anda. Saya salah mengerti definisi sampai saya membacanya.

— Tsuyoshi Ito

Selesai Saya ingin menunjukkan bahwa sementara motivasi pertanyaan berasal dari semantik teori kategori, teka-teki itu sendiri bersifat kombinatorial.

— Colin McQuillan

Hal yang paling menyebalkan tentang masalah ini adalah kelihatannya mudah! Semua set terikat-input isomorfik satu sama lain, dan begitu juga semua set . Saya tidak dapat melihat alasan mengapa keduanya tidak dapat dibuat isomorfik input-terikat dengan menggunakan variasi isomorfisma yang digunakan dalam bukti yang ada, tetapi upaya tersebut tampaknya gagal. Aghh. (Saya tidak punya pengalaman di bidang ini, jadi saya mungkin melenceng.)

(2 k)^{N}

$(2k)^{\mathbb{N}}$

(2 k + 1)^{N}

$(2k+1)^{\mathbb{N}}$

— Tsuyoshi Ito

Saya sangat suka dugaan ini, dan sudah nongkrong selama sebulan sekarang. Saya akan memberikan hadiah kepada siapa pun yang menyelesaikannya atau membuat kemajuan besar di kedua arah.

— Aaron Sterling

Pertanyaan yang bagus :-) Ngomong-ngomong, apa isomorfisme "paling sederhana" antara dan yang Anda ketahui?

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

3^{N}

$3^\mathbb{N}$

— Andrej Bauer

Jawaban:

Saya bukan pria teori CS. Tetapi dalam teori ergodik, jenis pemetaan ini dikenal sebagai isomorfisme finiter . Sebagai contoh, orang mempertimbangkan jika dua urutan Bernoulli dengan entropi yang sama adalah isomorfik atau tidak. Misalnya (ini adalah pergeseran satu sisi karena sepertinya Anda lebih mementingkan daripada ): $P^{\mathbb{N}}$ $P^{\mathbb{Z}}$

A. Del Junco, "Kode-kode finansial antara Bernoulli satu sisi bergeser," Ergodic Theory Dynamical Systems, vol. 1, hlm. 285–301, 1981.

PS Saya bermaksud untuk meninggalkan ini sebagai komentar tetapi saya tidak bisa karena kurangnya reputasi. Beri tahu saya jika ini benar-benar di luar topik maka saya akan menghapusnya.

— pendayung gondola
sumber

Saya menyambut ide-ide sumbang gagasan aneh pada saat ini.

— Aaron Sterling

Perhatikan bahwa apakah indeks diambil dari ℕ atau ℤ tidak relevan dalam pertanyaan ini.

— Tsuyoshi Ito

Saya telah menganugerahi hadiah penuh untuk jawaban ini, karena, jika saya tidak melakukan apa-apa, jawabannya tetap akan menerima setengah dari hadiah itu, sebagai yang paling tervotasikan (dan telah menerima setidaknya dua suara). Jika seseorang memposting bukti penuh atau sebagian di kemudian hari, dan saya melihatnya, saya mungkin akan memulai hadiah lain, untuk memberikan perwakilan rep kepada pemecah.

— Aaron Sterling

Saya pikir isomorfisme antara dan harus disediakan oleh setiap kumpulan awalan biner eksklusif dan lengkap ukuran , misalnya untuk kita bisa kita "0", "10", dan "11". Secara umum, kita dapat menggunakan "0", "10", "110", ..., "11 ... 10", "11 ... 11" di mana yang kedua hingga terakhir memiliki dan terakhir memiliki . $k^\mathbb{N}$ $2^\mathbb{N}$ $k$ $k = 3$ $k - 2$ $k - 1$

Sifat eksklusif dan lengkap memungkinkan kita untuk mendefinisikan kebalikan ( ) dengan cara yang jelas. $2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

The boundedness ke arah depan mudah karena masing-masing digit masukan menyediakan setidaknya satu angka output th digit biner mudah ditentukan oleh tidak lebih daripada yang pertama -ary digit. $i$ $i$ $k$

Keterbatasan dalam arah mundur sedikit lebih buruk. Dengan koleksi awalan saya berikan di atas masing-masing digit -ary "berbunyi" dari paling biner digit dan jadi th -ary digit ditentukan oleh tidak lebih daripada yang pertama digit biner. $k$ $k$ $i$ $k$ $k i$

Ini bukan input-terikat di kedua arah. Menurut definisi fungsi input-terikat, Anda memerlukan ikatan seragam pada jumlah variabel input yang bergantung pada setiap variabel output. Di arah maju pemetaan Anda, variabel output ke-i tergantung pada variabel input i pertama, sehingga tidak ada batas yang seragam. Dalam arah mundur, variabel output ke-i tergantung pada variabel input ki pertama.

— Tsuyoshi Ito

Doh. Saya akan pergi membaca pertanyaan untuk yang ke-1.5 kalinya. :(