Ketika kita diberi dekomposisi pohon dari grafik dengan lebar , ada beberapa cara di mana kita dapat membuatnya "bagus". Secara khusus, diketahui bahwa adalah mungkin untuk mengubahnya menjadi dekomposisi pohon di mana pohon itu biner dan tingginya adalah . Ini dapat dicapai sambil menjaga lebar dekomposisi paling banyak . (Lihat misalnya "Algoritma paralel dengan speedup optimal untuk treewidth terbatas", oleh Bodlaender dan Hagerup). Jadi, kedalaman logaritmik adalah properti dari dekomposisi pohon yang hampir bisa kita peroleh secara gratis.
Pertanyaan saya adalah apakah ada hasil yang sama untuk lebar klik, atau mungkin contoh tandingan. Dengan kata lain, diberikan ekspresi lebar-klik untuk menggunakan label , apakah selalu ada ekspresi lebar-klik dari tinggi untuk , yang menggunakan paling banyak label ? Di sini, ketinggian didefinisikan secara alami sebagai ketinggian pohon parse dari ekspresi lebar-klik.
Jika pernyataan yang mirip dengan yang di atas tidak diketahui, apakah ada contoh grafik -vertex dengan lebar klik-kecil , sehingga satu-satunya cara untuk membangun dengan label adalah dengan menggunakan ekspresi dengan besar kedalaman?