Kompleksitas menemukan jumlah maksimal pasangan terpisah yang bijaksana

Asumsikan bahwa saya memiliki set dengan elemen yang diambil dari mungkin. Setiap set berukuran ( ), di mana set bisa tumpang tindih. Saya ingin menentukan apakah dua masalah berikut ini selesai NP atau tidak: $P$ $r$ $n$ $n<r$

Masalah A. Apakah ada set berbeda ( ) dalam set (yaitu, perpotongan pasangan-bijaksana kosong)? $M$ $1 \le M \le P$ $P$

Masalah B. Sekarang elemen ( ) dapat dipilih dari setiap set. Apakah ada ( ) yang berbeda set ukuran masing-masing dalam set? Perhatikan bahwa hanya satu set elemen dapat diambil dari setiap set elemen . $k$ $k<n$ $L$ $1 \le L \le P$ $k$ $P$ $k$ $n$

Catatan : Saya terutama tertarik pada kasus di mana diperbaiki ( ). $k,n$ $n \ge 2, k \ge 2$

Saya berpikir bahwa Masalah A dapat dianggap sebagai masalah pencocokan grafik- seragam -partit. Yaitu, kita memiliki elemen sebagai simpul, dan masing-masing hyper-edge berisi subset dari simpul dari grafik. $n$ $r$ $r$ $n$

Dalam masalah pencocokan hyper-graph seragam -partite NP-complete? $n$ $r$
Saya berpikir bahwa Masalah B setara dengan menemukan jumlah hiper-tepi kardinalitas diambil dari hiper-tepi kardinalitas . Apakah versi terbatas ini (dalam arti bahwa setiap set kardinalitas diambil dari set elemen telah dipilih daripada diambil secara acak dari elemen ) dari Problem A NP-complete? $k$ $n$ $k$ $n$ $r$

Contoh ( ): $n=3,r=5, P=3$

$A=\{1,2,3\}$ , , $B=\{2,3,4\}$ $C=\{3,4,5\}$

Jika , hanya ada satu set yang berbeda, yaitu atau atau , karena masing-masing pasangan , , memiliki persimpangan kosong. $k=n=3$ $M=1$ $A$ $B$ $C$ $(A,B)$ $(A,C)$ $(B,C)$

Jika , kami memiliki set yang berbeda: satu solusi adalah , (himpunan bagian dari dan ). $k=2$ $L=2$ $\{1,2\}$ $\{3,4\}$ $A$ $B$

graph-theory np-hardness

— MJK
sumber

Ini adalah kasus khusus dari Masalah Pengemasan Set Maksimum dan kedua masalah A dan B adalah NP-Lengkap . Perhatikan bahwa masalahnya hanyalah masalah pencocokan jika dan juga mudah jika . Jadi saya akan menganggap . $n=2$ $n=1$ $n \ge 3$

Alih-alih mengajukan pertanyaan,

Apakah ada set terpisah di antara set ? $M$ $P$

Mari kita ajukan pertanyaan berikut

Berapa jumlah maksimum set disjoint yang dapat kita peroleh dari set ? $P$

Jelas bahwa jika pertanyaan kedua dapat dijawab dalam waktu polinomial, maka begitu juga yang pertama karena yang harus kita lakukan adalah membandingkan nilai maksimum ini dengan dan menghasilkan YA jika kurang dari atau sama dengan maksimum ini dan TIDAK sebaliknya. $M$ $M$

Juga, jika pertanyaan pertama dapat dijawab dalam waktu polinomial, maka pertanyaan kedua juga karena kita dapat menggunakan pencarian biner pada dan mendapatkan jawaban untuk pertanyaan kedua dan hanya menambahkan faktor $M$ $O(\log{M})$

Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pertanyaan itu setara. yaitu Pertanyaan 1 adalah waktu polylomial yang dapat dipecahkan jika dan hanya jika Pertanyaan 2 juga.

Juga jelas bahwa masalahnya ada di NP karena kita dapat dengan mudah memverifikasi bahwa set dihasilkan terpisah. $M$

Jadi pertanyaannya sekarang adalah bagaimana kita mengurangi masalah NP-Hard yang diketahui untuk ini? Untuk melakukan ini kami mengurangi dari masalah pengepakan set maksimum . Saya hanya akan fokus pada masalah A karena masalah B dapat dengan mudah terbukti sulit dengan menetapkan $k=n-1$

Pertimbangkan contoh sewenang-wenang maksimum set packing masalah . Perhatikan bahwa satu-satunya perbedaan antara masalah A dan masalah pengepakan set maksimum asli adalah bahwa dalam masalah A, ukuran set harus sama. Biarkan menjadi kardinalitas maksimum di antara semua set di . Jika setiap set di memiliki kardinalitas yang sama, kita selesai dan masalah cover set adalah masalah yang sebenarnya A. Sekarang anggaplah bahwa untuk beberapa set , kita memiliki . Kami hanya menambahkan elemen untuk yang tidak elemen dari setiap set di . Kami ulangi proses ini sampai semua set $T$ $t$ $T$ $T$ $S_i \in T$ $|S_i| < t$ $(t-|S_i|)$ $S_i$ $T$ $S_i \in T$ memiliki ukuran yang sama. Jelas bahwa menambahkan elemen-elemen baru dengan cara ini tidak mengubah ukuran jumlah set terputus-putus maksimum.

Jadi, jika kita dapat memecahkan masalah dalam waktu polinomial, kita dapat memecahkan masalah pengepakan set maksimum dalam waktu polinomial karena yang harus kita lakukan adalah menghapus elemen tambahan yang telah kita tambahkan, dan melakukan ini tidak mengubah ukuran jumlah maksimum set menguraikan di . $A$ $T$

EDIT - Beberapa informasi tambahan tentang masalah B

Misalkan masalah B memiliki solusi waktu polinomial, sekarang pertimbangkan contoh sembarang dari masalah A dengan elemen per set. Sekarang kita tambahkan dummy elemen untuk setiap set di . Kami sekarang mengajukan pertanyaan berikut. $T$ $n$ $d$ $T$

Berapa jumlah maksimum set disjoint yang dapat kita peroleh dengan mengambil elemen dari setiap set? $n$

Sekarang kita tahu bahwa di antara set dalam maksimum, paling banyak salah satu dari mereka dapat mengandung elemen dummy, maka jika jawaban yang kita dapatkan sebagai maksimum adalah , maka jumlah maksimum set aktual dalam contoh (masalah awal kami A) adalah atau , tetapi ini memberikan perkiraan faktor konstan untuk pengemasan set maksimum. Dan perkiraan seperti itu hanya mungkin jika . Jadi masalah B juga sulit. $M$ $T$ $M$ $(M-1)$ $P=NP$

— Obinna
sumber

Mengenai masalah B: jika Anda menambahkan elemen dummy ke semua set Masalah A, Anda mendapatkan set ukuran . Pada contoh yang muncul di pertanyaan saya ( ), Anda akan mendapatkan bahwa jumlah maksimum dari set terpisah ukuran adalah 3: . Namun, solusi untuk Masalah A adalah hanya ada satu set. Dengan kata lain, saya tidak melihat bagaimana solusi untuk Masalah B memberikan perkiraan faktor konstan untuk Masalah A.

n + 1

$n+1$

n = 3, P = 3

$n=3, P=3$

n - 1 = 2

$n-1=2$

{1, d}, {2, 3}, {4, 5}

$\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$

— MJK

Jika Anda menambahkan elemen dummy, Anda harus menetapkan dan . Contoh baru ini dengan adalah contoh dari masalah A kami tertarik. Sekarang jalankan algoritma B yang seharusnya pada set ini yaitu dan . Itu yang saya katakan. Perhatikan bahwa masalah berkurang hingga menemukan kecocokan maksimum jika atau .

A' = {1, 2, 3, d}, B' = {2, 3, 4, d}

$A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$

C' = {3, 4, 5, d}

$C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$

n = 4

$n=4$

n = 4

$n=4$

k = 3

$k=3$

n = 2

$n=2$

k = 2

$k=2$

— Obinna Okechukwu