Mendekati automorfisme non-sepele grafik?

Grafik automorphism adalah permutasi dari node grafik yang menginduksi bijection di tepi set $E$ . Secara formal, Ini adalah permutasi $f$ node tersebut $(u,v)\in E$ IFF $(f(u),f(v))\in E$

Tentukan tepi yang dilanggar untuk beberapa permutasi sebagai tepi yang dipetakan ke non-edge atau edge yang preimage-nya non-edge.

Input : Grafik non-kaku $G(V, E)$

Masalah : Temukan permutasi (non-identitas) yang meminimalkan jumlah tepi yang dilanggar.

Apa kompleksitas menemukan permutasi (non-identitas) dengan jumlah minimum tepi yang dilanggar? Apakah masalah sulit untuk grafik dengan derajat maksimum terbatas $k$ (berdasarkan asumsi kompleksitas)? Misalnya, Apakah sulit untuk grafik kubik?

Motivasi: Masalahnya adalah relaksasi masalah automorfisme grafik (GA). Grafik input mungkin memiliki automorfisme non-trivial (misalnya grafik non-kaku). Seberapa sulitkah untuk menemukan perkiraan otomorfisme (permutasi lemari)?

Edit 22 April

Grafik yang kaku (asimetris) hanya memiliki automorfisme sepele. Grafik non-kaku memiliki beberapa simetri (terbatas) dan saya ingin memahami kompleksitas perkiraan simetrinya.

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Masalahnya sepele, permutasi identitas selalu optimal.

— Jukka Suomela

@ Jukka, Dalam masalah Automorfisme grafik kita mencari automorfisme non-sepele. Demikian pula, Di sini saya tidak tertarik pada permutasi identitas.

— Mohammad Al-Turkistany

Saya sebenarnya menyarankan agar Anda mungkin mengajukan pertanyaan yang salah ... Mungkin akan membantu jika Anda memberi tahu motivasi atau aplikasi Anda.

— Jukka Suomela

Masalahnya adalah relaksasi masalah automorfisme grafik (GA). Grafik input mungkin memiliki automorfisme non-trivial. Seberapa sulitkah untuk menemukan perkiraan otomorfisme (permutasi lemari)?

— Mohammad Al-Turkistany

Saya tidak mengerti mengapa Anda membatasi grafik yang tidak kaku, di mana nilai optimal sebenarnya adalah nol. Dalam grafik yang kaku, faktor perkiraan mungkin lebih menarik.

— Derrick Stolee

Jawaban:

Saya tidak mengerti motivasi dengan sangat baik. Namun, izinkan saya memberikan jawaban untuk pertanyaan terkait. Dalam kerangka pengujian properti, Anda diberi dua grafik ad dan ingin membedakan dua case berdasarkan parameter : $G$ $H$ $\epsilon$

dan adalah isomorfik $G$ $H$
Setiap bijih dari ke menyebabkan kesalahan setidaknya $G$ $H$ tepi. $\epsilon \binom{n}{2}$

Metrik kompleksitas adalah jumlah probe ke matriks adjacency, dan tujuannya adalah untuk membedakan dua kasus dengan probabilitas tinggi menggunakan jumlah probe sublinear.

Eldar Fischer dan Arie Matsliah ( terima kasih, arnab ) memiliki makalah di SODA 2006 tentang masalah ini. Meskipun tidak terhubung langsung ke masalah Anda, itu mungkin cara untuk merumuskan masalah yang mungkin terjadi, dan bahkan mungkin menyediakan teknik yang berguna untuk Anda.

— Suresh Venkat
sumber

Memang, masalah ini juga menarik.

— Mohammad Al-Turkistany

Hanya koreksi: makalah itu bersama dengan Arie Matsliah.

— arnab

Jika kita menganggap

dan

sebagai grafik yang sama, kita dapat dijamin memiliki tabrakan kurang dari

dalam permutasi non-sepele dengan menukar pasangan simpul apa pun. Ini jauh lebih kecil dari

G

$G$

H

$H$

2 n

$2n$

ϵ (\binom{n}{2})

$\epsilon{n\choose 2}$

— Derrick Stolee

Hasil Eugene Luks (" Isomorfisme grafik valensi terikat dapat diuji dalam waktu polinomial ") menunjukkan bahwa graf isomorfisma (atau automorfisme) untuk grafik derajat terikat adalah dalam waktu polinomial. Oleh karena itu, jika Anda mencari beberapa (non-identitas, seperti yang ditunjukkan Jukka) hampir-otomorfisme untuk grafik kubik yang tidak kaku, maka kita dapat menggunakan algoritma Luks dan mengambil automorfisme non-sepele dalam grafik.

— Ramprasad
sumber

Saya membaca sekilas makalah dan pemahaman saya adalah bahwa itu memecahkan masalah keputusan tingkat gelar GA dalam waktu polinomial. Pertanyaan saya adalah masalah optimisasi. Juga, Anda tidak dapat mengecualikan grafik yang kaku.

— Mohammad Al-Turkistany