Apakah jumlah subset DAG dapat diperkirakan?

Kita diberi grafik asiklik terarah dengan angka yang terkait dengan setiap simpul ( g : V → N ), dan nomor target $G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$ .$T\in \mathbb{N}$

The DAG bagian sum masalah (mungkin ada dengan nama yang berbeda, referensi akan menjadi besar) menanyakan apakah ada simpul , sedemikian rupa sehingga Σ v i g ( v i ) = T , dan v 1 → . . → v k adalah jalan di G .$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Masalah ini sepele NP-Complete, karena grafik transitif lengkap menghasilkan masalah jumlah subset klasik.

Algoritma pendekatan untuk masalah jumlah subset DAG adalah algoritma dengan properti berikut:

1. Jika ada jalur dengan jumlah T, algoritma mengembalikan TRUE.
2. Jika tidak ada jalur yang menjumlahkan angka antara dan T untuk beberapa c ∈ ( 0 , 1 ) , algoritma mengembalikan FALSE.$(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. Jika ada jalur yang menjumlahkan angka antara dan T , algoritme dapat menampilkan jawaban apa pun.$(1 − c)T$$T$

Jumlah subset diketahui dapat diperkirakan dalam waktu polinomial untuk semua .$c>0$

Apakah hal yang sama berlaku untuk DAG-Subset-Sum?

Menurut saya algoritma pemrograman dinamis waktu semu-polinomial untuk masalah Subset Sum juga berfungsi untuk masalah ini. Untuk setiap titik , kami menghitung set L i yang terdiri dari semua nilai jalur yang mungkin berakhir pada v i . Kemudian, kita memiliki relasi perulangan: L i = { g ( v i ) } ∪ { x + g ( v i ) ∣ x ∈ ⋃ j ∈ p r e c ( i )$v_i$$L_i$$v_i$ . Mengikuti urutan topologis, semua L i dapat dihitung dalam waktu O ( K m ) , di mana K adalah berat total dan m adalah jumlah tepi.$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Saya pikir penskalaan dan pembulatan standar juga dapat diterapkan untuk mendapatkan FPTAS.