Seberapa buruk pewarnaan serakah (warna daftar) untuk jumlah grafik c-chromatic?

angka c-chromatic didefinisikan dalam makalah Partisi grafik menjadi cographs . Ia meminta jumlah minimum warna yang digunakan untuk mewarnai simpul sedemikian rupa sehingga setiap kelas warna adalah cograph . Cograf adalah grafik bebas P4 , yaitu tidak ada lintasan panjang 3 yang diinduksi.

The kertas menunjukkan jumlah c-chromatic sebagai dan membuktikan bahwa c ( G ) ≤ ⌈ 1 + $c(G)$dalam Catatan 12 di halaman 4. Buktinya dapat digunakan untuk mengonversi pewarnaan apa pun menjadi pewarnaanpaling banyak⌈1+$c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$ warna, dalam waktu polinomial.$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

Dalam studi tentang pewarnaan grafik klasik, yaitu, nomor kromatik , pewarnaan serakah dibahas. Kinerja pewarnaan serakah ditentukan oleh urutan simpul. Dalam kasus terburuk, sebuah grafik membutuhkan | V $\chi(G)$ warna sementaraχ(G)=2. Ini menyiratkan bahwa taksiran rasio pewarnaan serakah itu buruk.$\frac{|V|}{2}$$\chi(G)=2$

Demikian pula, ketika kita mewarnai grafik menjadi gambar-gambar, kita bisa menggunakan pewarnaan serakah. Diberi urutan simpul, beri label setiap simpul dengan warna terkecil (asumsikan warna diberi label sebagai 1, 2, 3, ....) sedemikian rupa sehingga setiap kelas warna adalah tanda gambar.

Pertanyaan saya adalah:

1. apa perilaku terburuk pewarnaan serakah pada pewarnaan cograph?
2. Mungkinkah pewarnaan serakah membutuhkan lebih dari warna?$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

pertanyaan yang bagus Pertimbangkan konstruksi berikut: build k P3s bernomor / dipesan 1-2-3 4-5-6 7-8-9, dll. Sekarang 1-2-3 semuanya mendapatkan warna R dengan skema serakah. Buat 4,5,6 semua bersebelahan dengan 3. Kemudian 4,5,6 masing-masing mendapatkan warna B. Sekarang buat simpul 7,8,9 berbatasan dengan 3 dan ke 6, maka mereka tidak bisa mendapatkan warna R atau B. Mereka mendapatkan Y.

Lanjutkan dengan 10-11-12, dengan 10,11,12 berdekatan dengan 3,6,9. Mereka tidak bisa diwarnai dengan RBY, jadi mereka mendapatkan G.

Vertikal 3k ini akan membutuhkan k = n / 3 warna. Tetapi perhatikan bahwa c (G) adalah 2, karena set {3,6,9,12, dll} menginduksi klik, dan sisa grafik menginduksi pencocokan sempurna. Jadi ini menunjukkan bahwa pewarnaan serakah masih dapat secara sewenang-wenang juga buruk untuk pewarnaan gambar.

$\frac{1+\Delta}{2}$

Pertanyaan lain yang menarik untuk ditanyakan adalah apakah pewarnaan serakah yang "lebih pintar" (seperti LexBFS) akan menghasilkan perkiraan rasio konstan.