Pemisahan kelas kompleksitas tanpa teorema hierarki

Teorema hierarki adalah alat mendasar. Sejumlah besar dari mereka dikumpulkan dalam pertanyaan sebelumnya (lihat Apa hierarki dan / atau teorema hierarki yang Anda ketahui? ). Beberapa pemisahan kelas kompleksitas langsung mengikuti dari teorema hierarki. Contoh pemisahan yang sangat dikenal: $L\neq PSPACE$ , $P\neq EXP$ , $NP\neq NEXP$ , $PSPACE\neq EXPSPACE$ .

Namun, tidak setiap pemisahan mengikuti dari teorema hierarki. Sebuah contoh yang sangat sederhana adalah . Meskipun kita tidak tahu apakah salah satu dari mereka mengandung yang lain, mereka masih berbeda, karena ditutup sehubungan dengan transformasi polinomial, sementara tidak. $NP\neq E$ $NP$ $E$

Manakah beberapa pemisahan kelas kompleksitas yang lebih dalam, tanpa syarat, dan tanpa relativiasi untuk kelas seragam yang tidak secara langsung mengikuti dari beberapa teorema hierarki?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Andras Farago
sumber

Saya pikir itu agak tidak biasa untuk menyebut

pemisahan. Ketidaksetaraan mereka juga karena alasan sepele dan tidak memberi tahu kami sesuatu yang menarik. AFAIK semua pemisahan kelas kompleksitas yang menarik untuk kelas kompleksitas besar bergantung pada teorema hierarki (dan pada gilirannya diagonalisasi) di beberapa titik.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Kaveh

Benar, memang tidak biasa untuk menyebut

pemisahan, karena berlaku untuk alasan sepele. Saya hanya membawanya untuk menunjukkan contoh sederhana di mana tidak ada teorema hierarki yang diperlukan.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

Err, bukti NP! = E memang bergantung pada teorema hierarki! Cara kerjanya adalah Anda pertama kali mengasumsikan NP = E, kemudian menggunakan properti penutupan NP untuk menyimpulkan bahwa E = EXP, sehingga melanggar Teorema Hierarki Waktu.

— Scott Aaronson

Terima kasih, Scott, kamu benar sekali.

bukan contoh yang tepat. Saya memposting yang lebih baik di antara jawaban.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

Jadi, bahkan ketidaksetaraan seperti mengandalkan diagonalisasi:

tapi

. Bagaimanapun, bagus dan tidak sepele.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh

Jawaban:

Saya ingin ditampilkan salah, tetapi saya tidak berpikir saat ini ada batas bawah seragam yang pada akhirnya tidak didasarkan pada salah satu teorema hierarki. Pemahaman kami saat ini tentang bagaimana memanfaatkan keseragaman benar-benar sangat terbatas dalam pengertian itu.

Di sisi lain, ada banyak batas bawah seragam yang tidak mengikuti langsung dari teorema hierarki, tetapi menggunakan teorema hierarki dalam kombinasi dengan trik, teknik, dan hasil pintar lainnya, misalnya:

[Hopcroft-Paul-Valiant]. Mereka membuktikan bahwa (bagian non-diagonisasi dari buktinya), dan kemudian menggunakan fakta bahwa $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ dalam kombinasi dengan hierarki ruang. Hasilnya + hirarki ruang juga menyiratkan . $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Pertukaran ruang-waktu untuk Kepuasan (lihat, misalnya perkenalan Buss-Williams dan referensi di dalamnya)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. Menggunakan simulasi nontrivial dari setiap mesin super-linear-time deterministik oleh mesin empat-alternasi yang lebih cepat, dalam kombinasi dengan hirarki waktu deterministik. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
Batas bawah seragam yang seragam pada [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ] permanen
[Williams] (meskipun secara teknis ini adalah batas bawah yang tidak seragam, ia menggunakan banyak ide cerdas dalam kombinasi dengan hierarki waktu nondeterministik) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Joshua Grochow
sumber

Apakah pemisahan oleh Smolensky adalah sesuatu yang Anda cari? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— Arne
sumber

Terima kasih, yang merupakan hasil bagus, tapi saya mencari pemisahan

kelas, bukan kelas sirkuit.

u n i f o r m

$uniform$

— Andras Farago

@AndresFarago: Seragam AC ^ 0 juga termasuk dalam seragam TC ^ 0.

— Emil Jeřábek mendukung Monica

@ EmilJeřábek: Apakah ada bukti bahwa seragam

terkandung dalam seragam

yang tidak juga sudah membuktikan pernyataan tidak seragam? (Jika tidak, maka akan terlihat contoh Anda jatuh di bawah prinsip umum bahwa batas bawah tidak seragam lebih kuat daripada batas bawah seragam, dan saya pikir OQ mencoba untuk menghindari jawaban seperti itu ...)

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— Joshua Grochow

Saya pikir ketidakseragaman dalam bukti adalah sekunder dari fakta bahwa ini adalah kelas yang agak kecil di mana kita memiliki beberapa pemahaman kombinatorial / aljabar yang bagus tentang mereka. Yaitu kita memahaminya dengan cukup baik untuk langsung membangun objek yang tidak ada di dalamnya. Di mana untuk kelas yang lebih besar tidak ada pemahaman seperti itu dan oleh karena itu satu-satunya metode yang kita tahu adalah melakukan diagonalisasi terhadap seluruh kelas untuk membangun objek seperti itu.

— Kaveh

Contoh nontrivial lain datang dari bidang kompleksitas kasus rata-rata. Rainer Schuler membuktikan sifat menarik dari kelas dia sebut , lihat [1]. $P_{P-comp}$

adalah kelas bahasa yang diterima dalam waktu polinomial pada -average untuksetiapkali dihitung jumlahnya banyak (P-dihitung) distribusi . Tentu, memegang, karena adanya algoritma polytime deterministik menyiratkan bahwa itu tetap efisien rata-rata, tidak peduli apa distribusi input. Namun, kondisi berjalan dalam waktu polinomial rata-rata untuksetiapdistribusi input P-computable muncul cukup kuat untuk mencurigai $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ $P_{P-comp}=P$

$L\in P_{P-comp}$ $E$

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$ . While the latter also uses the fact

E \neq P

$E\neq P$ , which follows from the Time Hierarchy Theorem, the novel part (*) builds on different tools: beyond diagonalization, it employs resource bounded measure and Kolmogorov complexity.

Reference:

[1] R. Schuler, "Penutupan tabel kebenaran dan penutupan Turing dari waktu polinomial rata-rata memiliki ukuran yang berbeda dalam EXP," CCC 1996, pdf

— Andras Farago
sumber