Pewarnaan grafik meminimalkan jumlah warna di setiap set independen

11

Apakah klaim berikut diketahui?

Klaim : Untuk setiap grafik dengan simpul ada pewarnaan sehingga setiap set independen diwarnai oleh paling banyak warna . $G$ $n$ $G$ $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— Igor Shinkar
sumber

11

Klaim berikut diketahui oleh saya, tetapi mungkin tidak dihitung karena tidak dipublikasikan: Setiap grafik pada simpul dapat diwarnai sehingga setiap subgraf diinduksi dari bilangan kromatik paling banyak digunakan paling banyak warna, di mana . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

Ini adalah bukti dengan induksi; motivasi adalah untuk mempertimbangkan pewarnaan yang menggunakan beberapa warna tidak hanya pada grafik tetapi juga pada semua subgraph yang diinduksi. Saya tidak mengetahui hasil apa pun yang dipublikasikan.

— Aravind
sumber

10

Tidak persis seperti yang Anda minta, tapi ini batas bawah - grafik di mana pewarnaan apa pun akan menghasilkan set independen yang diwarnai oleh warna: $\sqrt{n}$

Ambil salinan , dan menghubungkan semua simpul ke simpul tunggal . $\sqrt{n}$ $K_{\sqrt{n}}$ $s$

Jelas, setiap set simpul dari berbeda adalah independen, dan di setiap salinan Anda dapat menemukan setidaknya satu warna "baru". $\sqrt{n}$ $K$ $K_{\sqrt{n}}$

Ini lebih rendah terikat dapat dengan mudah ditingkatkan untuk atau jadi jika kita menghubungkan ke satu titik, tetapi hanya tersisa $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ warna. $\Omega(\sqrt{n})$

— BPR
sumber

Contoh kedua tampaknya tidak meningkatkan ikatan. Saya pikir IS apa pun dapat diwarnai menggunakan

. Misalnya, untuk n = 9,

diwarnai oleh biru,

oleh hijau dan merah, dan

oleh biru, hijau dan merah. IS maksimal apa pun diwarnai oleh 2 warna, bukan 3.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

Saya tidak yakin apa yang Anda maksud. Contoh kedua memang meningkatkan batas, tetapi tidak asimtotik. Anda dapat membuat ~

berukuran IS berwarna-warni menggunakan titik dari

, titik dari

dengan warna yang berbeda, dan seterusnya (dari

kita akan mengambil titik yang diwarnai oleh warna yang belum ada di IS kita). Dan ini berlaku untuk setiap mewarnai

.

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— RB

Juga, dalam contoh Anda, IS yang mencakup titik biru dari

, hijau dari

dan merah dari

diwarnai oleh 3 warna.

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— RB

1

@RB, terima kasih atas contohnya. grafik kedua Anda memberikan batas bawah kira-kira

, ini adalah angka sehingga

.

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— Igor Shinkar

5

Bagaimana dengan bukti berikut? Jika , maka klaim itu berlaku jelas. Misalkan sebaliknya, dan biarkanmenjadi set independendengan kardinalitas maksimum. Warnadengan warna 1, dan warna rekursif grafikdengan warna. Sekarang, jikaadalah himpunan bebas dari, pertimbangkan. Dengan hipotesis induksi,diwarnai dengan paling $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ warna , dan dengan demikiandiwarnai dengan paling banyak $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ warna; ketidaksetaraan dipegang oleh asumsi bahwa $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ . $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super8
sumber

1

, tetapi bukti ini mungkin dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa untuk

IS apa pun yang diwarnai paling banyak

1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

warna. Bagaimanapun, ini adalah permintaan referensi, bukan permintaan untuk bukti.

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

— user15669

1

Memang, buktinya harus bekerja dengan mengganti

dengan

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

. Saya minta maaf karena telah melewatkan bagian "permintaan referensi", tetapi bukankah hasil ini dianggap sebagai cerita rakyat? BTW, saya orang yang sama seperti di atas tetapi saya perlu menemukan cara untuk mengkonsolidasikan profil saya yang berbeda, saya mungkin harus meminta ini di meta.cstheory.stackexchange.

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

— Super0

(pada permintaan penggabungan profil) meta adalah tempat yang baik untuk mengirim permintaan semacam itu.

— Suresh Venkat