Kelengkapan NP atas real

Saya sedang mempelajari model perhitungan BSS baru-baru ini (lih misalnya Kompleksitas dan Komputasi Nyata; Blum, Cucker, Shub, Smale.)

Untuk real , ditunjukkan bahwa, diberi sistem polinomial , keberadaan nol adalah . Namun, saya bertanya-tanya, apakah itu polinomial hanya memiliki koefisien bilangan bulat, yaitu, , apakah masih masalah ? (itu jelas dalam ).f 1 , ⋯ , f m ∈ R [ x 1 , ⋯ , x n ] N P R f f 1 , ⋯ , f m ∈ Z [ x 1 , ⋯ , x n ] N P R N P $R$$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$NP_R$

Saya curiga ya, tetapi apakah ada bukti sederhana?

Saya pikir jawabannya tidak , dengan asumsi (saya yakin saya memberikan bukti di bawah ini, tetapi ada cukup banyak potensi masalah definisi definitif nitpicky di sini bahwa saya berhati-hati tentang klaim saya).$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

Bukti bahwa jawabannya tidak dengan asumsi$\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ : Faktanya, saya percaya pernyataan kuat berikut ini berlaku:

Lemma: Untuk masalah keputusan BSS over , jika poly-time-BSS berkurang menjadi masalah pada input integer, maka .R L R L ∈ P $L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

Bukti lemma : Misalkan ada polinomial-waktu BSS pengurangan dari ke masalah pada input integer, yang diberikan oleh mesin . Untuk input yang terdiri dari parameter nyata, buka gulungan perhitungan menjadi pohon perhitungan aljabar. Hanya ada banyak daun, dan hasilnya pada setiap daun adalah fungsi rasional tunggal dalam parameter input. Agar fungsi rasional dari input nyata untuk selalu menampilkan nilai integer, itu harus merupakan fungsi konstan, dan karenanya tidak bergantung pada input. Namun, fungsi konstan mana yang digunakan pada setiap daun, tentu saja, tergantung pada cabang. Namun, karena adalah mesin yang seragam, hanya ada satu$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$$O(1)$ simpul keluaran, dan dengan demikian hanya nilai keluaran. Dengan demikian dapat dimodifikasi untuk menentukan dalam waktu polinomial. QED$O(1)$$M$$L$

Sekarang, anggap sebagai kelayakan nyata dari polinomial nyata. Jika , maka , dan oleh Lemma tidak ada pengurangan dari ke masalah pada input integer (khususnya, kelayakan nyata polinomial integer ).$L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$

Masalah masalah janji? : Masalah potensial lain dengan pertanyaan Anda adalah kelayakan nyata dari polinomial integer mungkin tidak dalam , tetapi hanya dalam versi janjinya. Masalahnya di sini adalah bahwa untuk memverifikasi bahwa input (seperti koefisien polinomial ) adalah bilangan bulat membutuhkan waktu yang tergantung pada besarnya , sedangkan himpunan instance (semua contoh, bukan hanya contoh ya) untuk suatu masalah keputusan harus diputuskan dalam , artinya yang terakhir diperlukan waktu polinomial dalam jumlah parameter$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$, dan bukan besaran mereka. Ini, saya percaya, terkait erat dengan fakta bahwa bilangan bulat tidak dapat didefinisikan urutan pertama dalam real. (Pada dasarnya yang terbaik yang dapat dilakukan BSS -machine untuk menguji apakah input adalah integer adalah menghitung bagian integer dengan menghitung dan melakukan "binary search." Setelah dikomputasi bagian integer dari , itu hanya memeriksa apakah itu sama dengan .) Jadi saya pikir probleam kelayakan nyata dari persamaan integer adalah dalam tetapi mungkin tidak dalam (atau setidaknya tidak membuktikan untuk membuktikan bahwa ia ada di$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ ).