Batas bawah pada kompleksitas ruang monoton

Kompleksitas ruang monoton bahasa dapat didefinisikan dalam hal jaringan switching monoton (lihat misalnya "Rata-rata Huruf Kecil Batas untuk Jaringan Switching Monoton" oleh Filmus et al.). Gagasan ini terkait dengan hierarki monoton dan mungkin memiliki aplikasi ke pengaturan non-monoton di mana sebagian besar pertanyaan terbuka. N $L \subseteq \Sigma^*$$NC$

Berikut adalah definisi yang setara dalam hal rangkaian. Misalkan adalah sirkuit (atau dag) yang busurnya diberi label oleh elemen , dan yang memiliki simpul akar tunggal . Kita mengatakan bahwa menerima sebuah kata jika jika ada path-leaf root dalam yang urutan labelnya cocok dengan , yaitu untuk setiap label dalam kita memiliki . Sekarang, diberi bahasa , untuk setiap bilangan bulat kita mendefinisikan kerumitan slice[ n ] × Σ r K w ∈ Σ n P K w ( i , a ) P w [ i ] = a L n n C L ( n $K$$[n] \times \Sigma$$r$$K$$w \in \Sigma^n$$P$$K$$w$$(i,a)$$P$$w[i] = a$$L$$n$$n$$C_L(n)$sebagai ukuran minimum suatu rangkaian yang menerima persis kata-kata dalam . Kita dapat menempatkan beberapa batasan pada gagasan ini, misalnya dengan mensyaratkan bahwa sirkuit itu dibaca-sekali, yang berarti bahwa setiap jalur penerimaan membuat akses tunggal ke posisi tertentu. Ini mengarah ke ukuran kompleksitas kedua yang tampaknya lebih mudah dianalisis, seperti yang diilustrasikan di bawah ini.C ′ L ( n $L \cap \Sigma^n$$C'_L(n)$

Contohnya adalah masalah Pencocokan Sempurna ( ), yang dapat ditunjukkan memiliki kompleksitas monoton sebagai berikut. Biarkan menunjukkan irisan bahasa yang sesuai dengan grafik bipartit dengan simpul di setiap sisi bipartisi (dilambangkan dengan ). Pertimbangkan sirkuit menerimanya. Dengan bilangan bulat , misalkan menunjukkan himpunan panjang dalam mulai dari root, dan biarkan menunjukkan pasangan set denganC ′ P M ( n ) = 2 Ω ( n ) P M n G n A , B K k P k k K T k ( S , T ) S ⊆ A , T ⊆ $PM$$C'_{PM}(n) = 2^{\Omega(n)}$$PM_n$$G$$n$$A,B$$K$$k$$\mathcal{P}_k$$k$$K$$\mathcal{T}_k$$(S,T)$$S \subseteq A, T \subseteq B$ dan . Dengan monotonitas, kita dapat membuat asumsi berikut:$|S| = |T| = k$

(*) untuk setiap simpul dengan kedalaman , ada tuple sehingga setiap jalur mengarah ke dilabeli oleh permutasi .k t = ( S , T ) ∈ T k P ∈ P k u σ P : S → $u$$k$$t = (S,T) \in \mathcal{T}_k$$P \in \mathcal{P}_k$$u$$\sigma_P : S \rightarrow T$

Memang, jika ada dua jalur berbeda yang mengarah ke sesuai dengan tupel yang berbeda, salah satunya dapat diperluas ke fungsi yang bukan permutasi (dan dengan demikian akan mengenali grafik tepi yang bukan pencocokan).$u$$n$

Sekarang amati bahwa kita harus memiliki properti "coverage" berikut: untuk setiap permutasi , harus ada beberapa path sedemikian sehingga meluas . Amati bahwa permutasi yang diberikan dapat diperluas paling banyakpermutasi yang berbeda, dan bahwa tuple yang diberikan dalam dapat menyebabkan paling banyakpermutasi yang berbeda. Ini menyiratkan bahwa jumlah node pada kedalaman setidaknya . Secara khusus, jumlah node di level setidaknyaP ∈ P k σ σ P σ P ( n - k ) ! T k k ! k n $\sigma : A \rightarrow B$$P \in \mathcal{P}_k$$\sigma$$\sigma_P$$\sigma_P$$(n-k)!$$\mathcal{T}_k$$k!$$k$$\frac{n!}{k! (n-k)!}$ n$\frac{n}{2}$$\frac{n!}{(\frac{n}{2})!^2} = 2^{\Omega(n)}$ .

Ada dua hal yang ingin saya pahami: (i) mengapa alasan ini dipecah untuk kompleksitas ruang read-many / nonmonotone, (ii) bagaimana hubungannya dengan batas bawah yang diketahui untuk kompleksitas ruang monoton .$PM$

Ini bukan jawaban, melainkan "komentar panjang".

Untuk pertanyaan (i): properti (*) berlaku karena read-once, bukan karena monotonicity, dan inilah mengapa argumen gagal dalam read-many (bahkan monoton) kasus: maka jalur gabungan tidak harus PM, mereka bisa berupa grafik arbitrer yang berisi PM.

Dalam membaca-sekali kasus, bahkan PM Exact (menerima grafik IFF itu adalah pencocokan sempurna) membutuhkan ukuran eksponensial (dengan argumen yang sama seperti milik Anda). Tetapi jika kita membiarkan negasi, maka EPM dapat dihitung dengan sirkuit ukuran : periksa apakah setiap node di A memiliki setidaknya satu derajat, dan jika setiap node di B memiliki derajat paling banyak satu. Jaringan switching yang dihasilkan adalah "hampir-baca-sekali": setiap jalur yang konsisten adalah baca-sekali. Cari istilah "null-path" di sini untuk informasi lebih lanjut. $O(n^3)$

Untuk pertanyaan (ii): Saya belum mengerti apa yang dimaksud dengan "itu" di sini? Tapi sejauh yang saya tahu, batas bawah dari Razborov (untuk ukuran monoton rangkaian PM) tetap satu terkuat. Meskipun jaringan switching monoton merupakan kasus khusus sirkuit monoton (di mana satu input dari masing-masing gerbang AND harus berupa variabel), tidak ada batas bawah yang lebih kuat untuk PM yang diketahui di sini.$n^{\Omega(\log n)}$