Sebuah graf planar adalah grafik yang dapat tertanam di pesawat, tanpa harus melintasi tepi.
Misalkan menjadi k -seragam-hypergraph, yaitu hypergraph sedemikian rupa sehingga semua hyperedges-nya memiliki ukuran k.
Telah ada beberapa pekerjaan yang dilakukan untuk menanamkan hypergraph di pesawat (dengan konteks pengelompokan atau aplikasi lain), tetapi seringkali, data tidak dapat tertanam di dalam pesawat. Solusinya bisa dengan memaksanya, dengan beberapa kerugian, atau menanamkannya dalam dimensi yang lebih tinggi seperti yang saya sarankan di sini:
Sebuah perpanjangan alami dari planarity (IMO, setidaknya) adalah " -Simple-embedding" (ada nama yang berbeda dikenal untuk itu?) Dari G : sebuah embedding M : X → R k , sehingga terdapat permukaan yang menghubungkan semua simpul dari masing-masing hyperedge, dan ini tidak berpotongan kecuali untuk titik akhir.
(Pikirkan analog dalam 2D, di mana setiap permukaan adalah tepi yang dapat Anda gambar sesuka Anda).
Berikut ini adalah contoh 3-uniform-hypergraph 3-uniform-embedding yang valid. (Setiap simpul diwarnai oleh hyperedges yang terkandung di dalamnya, dan setiap wajah mewakili hyperedge).
Contoh lain dari grafik 3-sederhana adalah 3-uniform-hypergraph pada 5 simpul . Untuk melihat ini cukup ambil 4 poin di R 3 yang tidak terletak pada bidang 2D, buat segitiga piramida (cembung cembung mereka), dan tempatkan titik kelima di tengah piramida, sambungkan ke simpul lain.
Demikian pula, tampaknya 3-uniform-hypergraph pada 6 simpul tidak memiliki embedding 3-sederhana.
Ada beberapa sifat yang sangat berguna dari grafik planar yang memungkinkan peningkatan algoritma untuk masalah-masalah sulit ketika grafik tersebut planar. Sayangnya, data seringkali tidak planar, meskipun terkadang memiliki dimensi rendah. Saya pikir memahami sifat-sifat grafik planar yang akan digeneralisasi akan membantu kita mengetahui algoritma mana yang dapat diadaptasi untuk dimensi yang lebih tinggi dengan alat yang sama.
Contoh properti yang dapat berguna berasal dari Teorema Fáry yang menyarankan setiap grafik planar dapat disematkan sedemikian rupa sehingga semua tepinya adalah segmen garis lurus.
Adakah properti lain yang bisa digeneralisasi? misalnya, dapatkah rumus Euler untuk grafik planar digeneralisasikan ke dimensi yang lebih tinggi? (walaupun saat ini saya tidak yakin apa artinya itu).