Bukti ketidakpastian tidak dengan pengurangan dari masalah penghentian

Cara yang biasa untuk membuktikan ketidakpastian adalah dengan mereduksi dari masalah RE-complete seperti masalah penghentian, validitas dalam logika urutan pertama, kepuasan persamaan Diophantine, dll.

Diketahui bahwa ada masalah yang berulang secara berulang, tetapi tidak dapat dipastikan yang tidak menyelesaikan-RE, tetapi ini adalah konstruksi buatan (yaitu, set yang telah ditentukan hanya untuk menunjukkan hasil "kepadatan" ini).

Bagaimana seseorang mengatasi pembuktian ketidakpastian tanpa pengurangan dari masalah RE-complete? Diagonalisasi?

computability

— David Monniaux
sumber

Mungkin pertanyaan yang tepat adalah: "apa metode langsung yang berbeda untuk membuktikan keraguan"?

— Suresh Venkat

teorema ketidaklengkapan Godel terlihat agak menjadi "cara yang berbeda" ... bukti diagonalisasi lain bergantung pada bahwa # pasangan program / input dapat dihitung tetapi bahasa tidak terhitung, dan dengan cara ini mirip dengan ketidakterbandingan real real dengan bilangan bulat. lihat juga tanya jawab ini Teorema titik tetap

— Lawvere

Kemungkinan duplikat: Apakah ada bukti keraguan tentang masalah penghentian yang tidak bergantung pada rujukan sendiri atau diagonalisasi?

— Kaveh

@vzn: Saya menganggap ketidaklengkapan Godel sebagai dasarnya bukti yang sama ...

— Joshua Grochow

Hanya untuk rasa ingin tahu, untuk masalah atau bahasa apa yang Anda coba buktikan tanpa keraguan? Saya pikir ada banyak masalah yang belum diputuskan (lihat misalnya daftar kecil di Wikipedia) yang dapat Anda kurangi, jadi saya ingin tahu apakah setidaknya satu di antaranya mirip dengan masalah Anda atau apakah ini merupakan masalah yang sama sekali baru.

— Marzio De Biasi

Jawaban:

Seseorang dapat menunjukkan secara langsung bahwa kompleksitas Kolmogorov tidak dapat dihitung, lihat misalnya Sipser, edisi ke-3, masalah 6.23.

— Bjørn Kjos-Hanssen
sumber

Ini juga harus mengikuti langsung dari teorema ketidaklengkapan Chaitin , yang buktinya sangat mirip.

— Yonatan N

Menurut saya dari masalah sebelumnya bahwa Sipser bermaksud siswa untuk menggunakan ketidakpastian masalah penghentian untuk bukti ini, jadi mungkin ada baiknya membuat sketsa bukti langsung dari ketidakterkomputasi dalam jawaban.

— usul

Sebenarnya membandingkan dengan Latihan 6.24 dan 6.25 juga membantu.

— Bjørn Kjos-Hanssen

Saya pikir mungkin ada baiknya menunjukkan - mengingat bahwa OQ bertanya secara khusus tentang diagonalisasi - bahwa bukti bahwa K tidak dapat dihitung juga pada dasarnya adalah diagonalisasi. (Memang, pada dasarnya sama, diagonalisasi vanilla-polos yang digunakan untuk membuktikan HALT tidak dapat dihitung, yang sama dengan bukti asli Cantor tentang kardinalitas, yang sama dengan bukti ketidaklengkapan Godel dan Chaitin, yang semuanya merupakan teorema hanya- versi paradoks Russell ...

— Joshua Grochow

Pertimbangkan apa yang saya suka sebut sebagai masalah MENJADI KONSISTEN.

$M$

(Tentu saja ini bukan bahasa, tetapi lebih seperti analog komputabilitas dari masalah janji.)

Sekarang, dengan modifikasi bukti asli Turing, cukup mudah untuk menunjukkan bahwa GUESSING KONSISTEN tidak dapat diputuskan (saya akan meninggalkan itu sebagai latihan untuk Anda).

$A$ $A$

— Scott Aaronson
sumber

Terima kasih, tapi ... sekali lagi, bukti diagonalisasi. ;-) Masalah saya adalah bahwa saya memiliki sesuatu yang saya pikir tidak dapat diputuskan (pada dasarnya, selama 35+ tahun, orang selalu mencari algoritma heuristik atau algoritma yang valid untuk subclass untuk menyelesaikannya) tetapi yang sepertinya tidak ada "jelas" pengurangan dari re atau argumen diagonalisasi yang bagus ...

— David Monniaux

Perhatikan bahwa tidak ada masalah "alami" yang diketahui tidak dapat diputuskan tetapi tidak memiliki (diketahui) pengurangan Turing untuk masalah penghentian. Secara khusus, satu-satunya pendekatan "yang direkomendasikan" untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang tidak dapat diputuskan adalah dengan menguranginya menjadi masalah lain yang tidak dapat dipastikan (misalnya, semi-unifikasi atau jangkauan matriks )

— cody

cody: Itulah yang dulu saya pikirkan juga. Tetapi jika Anda bersedia untuk mempertimbangkan tugas-tugas yang lebih umum daripada memutuskan bahasa, maka CONSISTENT GUESSING adalah contoh tandingan yang cukup alami! (Kebetulan, saya anggap Anda maksudkan, mengurangi masalah yang tidak dapat dipecahkan yang diketahui menjadi masalah Anda, dan bukan sebaliknya.)

— Scott Aaronson

Jika yang Anda cari adalah bukti yang bukan a) pengurangan dari masalah lengkap yang diketahui, atau b) diagonalisasi langsung (yang ditunjukkan oleh berbagai komentar Anda), maka sejauh yang saya tahu Anda kurang beruntung. Semua bukti yang saya sadari bukan dengan reduksi - termasuk yang ada di jawaban luar biasa lainnya yang diberikan di sini oleh Aaronson dan Kjos-Hanssen - dilanjutkan dengan diagonalisasi langsung.

Dan semua diagonalisasi itu pada dasarnya adalah bukti yang sama . Beberapa dari mereka sedikit varian pada bukti yang menghasilkan pernyataan sedikit lebih kuat / lebih lemah, tetapi bukti itu sendiri biasanya hanya variasi yang sangat sedikit. (Dan semua bukti ini pada dasarnya sama dengan bukti asli Cantor tentang kardinalitas, yang sama dengan bukti ketidaklengkapan Godel dan Chaitin, yang merupakan semua versi teorema dari paradoks Russell ... Begitu banyak sehingga pada satu Poin saya bertanya-tanya apakah seseorang dapat memformalkan semacam teorema pembalikan matematika yang mengatakan bahwa pada dasarnya hanya ada satu bukti seperti itu.)

Akan tetapi, ada baiknya kita menunjukkan bahwa ada bukti dari pernyataan lain - biasanya dari rasa yang berbeda - yang merupakan diagonalisasi yang benar-benar, benar-benar berbeda dari diagonalisasi yang digunakan untuk membuktikan misalnya keraguan terhadap masalah penghentian.

— Joshua Grochow
sumber

Saya tidak tahu banyak tentang topik itu, tetapi bukankah teorema titik tetap Lawvere merupakan generalisasi umum dari hampir semua ini?

— Sasho Nikolov