Bukti sederhana Ω (n lg n) kasus terburuk terikat untuk keunikan / perbedaan?

Ada beberapa bukti untuk batas bawah loglinear untuk elemen keunikan / masalah perbedaan (berdasarkan pohon perhitungan aljabar atau argumen permusuhan), tapi saya mencari satu yang cukup sederhana untuk digunakan dalam kursus pertama dalam analisis dan desain algoritma. "Tingkat kesulitan" yang sama dengan batas bawah untuk penyortiran akan baik-baik saja. Juga, pendekatan apa pun (misalnya, kombinatorial atau berdasarkan teori informasi) akan baik-baik saja. Ada saran?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
sumber

Model perhitungan apa yang Anda pikirkan? Jika item bilangan bulat kecil, seseorang dapat melakukan

dengan menyortir. Jika item hanya dapat dibandingkan untuk ketidaksetaraan, tampaknya ada

batas bawah. Apakah benar untuk menyimpulkan dari jawaban yang Anda cari bahwa item-item tersebut diurutkan secara linear dan dapat dibandingkan dengan <, =,> tetapi tidak ada operasi lain?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

Pertanyaan Warren dalam komentarnya adalah pertanyaan yang bagus. Terkait dengan ini, komentar oleh David Eppstein pada pertanyaan lain adalah wawasan, di mana ia menekankan pentingnya menentukan model komputasi ketika kita berbicara tentang jenis batas bawah ini. Ngomong-ngomong, saya tidak yakin apakah masuk akal untuk menuliskan “pohon perhitungan aljabar” (model perhitungan) dan “argumen permusuhan” (metode bukti) berdampingan.

— Tsuyoshi Ito

Poin yang sangat bagus. Aplikasi saya di sini menjelaskan tentang bukti kekerasan dengan reduksi - misalnya dengan mengurangi dari keunikan menjadi penyortiran (dan beberapa masalah lainnya). Oleh karena itu, saya mengasumsikan operasi dasar yang sama seperti ketika bekerja dengan pengurutan perbandingan (sehingga pengurangan akan bekerja). (Atau, saya kira, apa pun yang setara dengan RAM dengan bilangan real.)

— Magnus Lie Hetland

Jawaban:

Setiap sertifikat (bukti) perbedaan yang hanya menggunakan <, = dan> harus menyertakan perbandingan antara setiap pasangan elemen yang berdekatan dalam urutan diurutkan. Oleh karena itu setiap sertifikat perbedaan memberikan informasi yang cukup untuk disortir dan karenanya informasi standar-teori batas lebih rendah untuk penyortiran juga berlaku untuk algoritme perbedaan khas apa pun.

— Warren Schudy
sumber

Argumen ini berfungsi untuk pohon perbandingan, tetapi tidak (langsung) untuk model pohon keputusan yang lebih umum.

— Jeffε

JeffE: Saya setuju. Saya ragu bahwa ada bukti yang cukup sederhana untuk tujuan Magnus yang berfungsi dalam model yang lebih umum.

— Warren Schudy

Baik. Pohon perbandingan baik untuk aplikasi saya - jadi saya kira ini cukup dekat dengan apa yang saya cari. Aplikasi saya menjelaskan gagasan tentang bukti kekerasan, termasuk mengurangi menjadi penyortiran, sehingga fakta bahwa bukti penyortiran digunakan di sini semacam hubungan pendek semuanya. Saya kira saya harus menyatakan itu secara eksplisit :-)

— Magnus Lie Hetland

Saya tidak yakin apakah saya memahami pertanyaan dengan benar, tetapi bukti oleh Dobkin dan Lipton [DL79] bahwa masalah keunikan pada angka n memerlukan perbandingan Ω ( n log n ) dalam model pohon keputusan linear jauh lebih mudah daripada hasil yang lebih kuat di model pohon perhitungan aljabar oleh Ben-Atau [Ben83] (tidak mengherankan).

Referensi

[Ben83] Michael Ben-Or. Batas bawah untuk pohon perhitungan aljabar. Dalam Prosiding Simposium ACM Tahunan Kelimabelas tentang Teori Komputasi (STOC 1983) , hlm. 80–86, April 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin dan Richard J. Lipton. Pada kompleksitas perhitungan di bawah berbagai set primitif. Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem , 18 (1): 86–91, Februari 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
sumber

Singkatnya: Pertimbangkan ruang R ^ n dari semua input yang mungkin. Set input positif memiliki n! komponen yang terhubung, satu untuk setiap permutasi. Di sisi lain, input subset yang dapat mencapai daun apa pun dalam pohon keputusan linier adalah cembung, dan karenanya terhubung. Dengan demikian, setiap pohon keputusan linier yang menentukan keunikan memiliki setidaknya n! Daun-daun.

— Jeffε

Argumen yang lebih halus diperlukan untuk kasus khusus input integer. Lihat Lubiw dan Rács, "Batas bawah untuk masalah perbedaan elemen bilangan bulat", Informasi dan Komputasi 1991; atau Yao, "Batas bawah untuk pohon perhitungan aljabar dengan input bilangan bulat", FOCS 1989.

— Jeffε

@ Jeff: Penjelasan singkat Anda sangat bagus. Juga terima kasih atas penunjuk ke hasil yang menarik. Tidak pernah terpikir oleh saya bahwa batas bawah oleh Ben-Or tidak segera berlaku untuk kasus di mana input dibatasi untuk bilangan bulat!

— Tsuyoshi Ito

Jeff: ini seharusnya ada dalam jawaban!

— Suresh Venkat

Terima kasih untuk Tsuyoshi Ito dan JeffE. Saya telah melihat bukti ruang R sebelumnya (dalam pengaturan menggunakan argumen permusuhan). Saya pikir itu agak terlalu rumit untuk audiens target saya ketika saya pertama kali membacanya, tapi saya kira mungkin tidak, sungguh. Terima kasih. (Saya juga telah melihat makalah tentang kasus bilangan bulat - saya pikir saya tidak akan membahasnya dalam kuliah saya ... :)

— Magnus Lie Hetland