Kekuatan ketidakseragaman yang tidak masuk akal

Dari sudut akal sehat pandang, mudah untuk percaya bahwa menambahkan non-determinisme ke secara signifikan memperluas kekuasaannya, yaitu, N P jauh lebih besar dari P . Bagaimanapun juga, non-determinisme memungkinkan paralelisme eksponensial, yang nampaknya sangat kuat. $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Di sisi lain, jika kita hanya menambahkan non-keseragaman ke , memperoleh P / p o l y , maka intuisi kurang jelas (dengan asumsi kita mengecualikan bahasa non-rekursif yang dapat terjadi dalam P / p o l y ). Orang bisa berharap bahwa hanya memungkinkan algoritma waktu polinomial yang berbeda untuk panjang input yang berbeda (tetapi tidak meninggalkan ranah rekursif) adalah ekstensi yang kurang kuat daripada paralelisme eksponensial dalam non-determinisme.$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/poly$$\mathsf{P}/poly$

Menariknya, jika kita membandingkan kelas-kelas ini dengan kelas yang sangat besar , maka kita melihat situasi kontra-intuitif berikut. Kita tahu bahwa N E X P benar mengandung N P , yang tidak mengejutkan. (Setelah semua, N E X P memungkinkan ganda paralelisme eksponensial.) Di sisi lain, saat ini kami tidak bisa mengesampingkan N E X P ⊆ P / p o l y .$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NP}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

Dengan demikian, dalam pengertian ini, ketidakseragaman, ketika ditambahkan ke waktu polinomial, mungkin membuatnya sangat kuat, berpotensi lebih kuat daripada non-determinisme. Bahkan mungkin lebih jauh untuk mensimulasikan paralelisme eksponensial ganda ! Meskipun kami percaya ini bukan masalahnya, tetapi fakta bahwa saat ini tidak dapat dikesampingkan, masih menunjukkan bahwa ahli teori kompleksitas sedang berjuang dengan "kekuatan perkasa" di sini.

Bagaimana Anda akan menjelaskan kepada orang awam yang cerdas apa yang ada di balik "kekuatan tidak masuk akal" yang tidak seragam ini?

Jawaban sebaliknya adalah bahwa ini bukan hal pertama tentang teori kompleksitas yang saya coba jelaskan kepada orang awam! Untuk bahkan menghargai gagasan ketidakseragaman, dan bagaimana hal itu berbeda dari nondeterminisme, Anda perlu lebih jauh ke bawah pada rumput liar dengan definisi kelas kompleksitas daripada yang ingin didapatkan oleh banyak orang.

Karena itu, salah satu perspektif yang saya temukan bermanfaat, ketika menjelaskan P / poli kepada mahasiswa, adalah bahwa ketidakseragaman benar-benar berarti Anda dapat memiliki urutan tak terbatas dari algoritma yang lebih baik dan lebih baik, saat Anda pergi ke panjang input yang lebih besar dan lebih besar. Dalam praktiknya, misalnya, kita tahu bahwa algoritma penggandaan matriks naif bekerja paling baik untuk matriks hingga ukuran 100x100 atau lebih, dan kemudian di beberapa titik perkalian Strassen menjadi lebih baik, dan kemudian algoritma yang lebih baru hanya menjadi lebih baik untuk matriks besar yang secara astronomis tidak akan pernah muncul dalam praktik. Jadi, bagaimana jika Anda memiliki kemampuan magis untuk membidik algoritma terbaik untuk rentang n apa pun yang Anda gunakan?

Tentu, itu akan menjadi kemampuan yang aneh, dan semua hal dipertimbangkan, mungkin tidak berguna seperti kemampuan untuk menyelesaikan masalah NP-lengkap dalam waktu polinomial. Tapi sebenarnya, itu akan menjadi kemampuan yang tak tertandingi : itu bukan salah satu yang akan Anda dapatkan secara otomatis bahkan jika P = NP. Memang, Anda bahkan dapat membuat contoh masalah yang tidak dapat dihitung yang dibuat-buat (misalnya, diberikan 0 ⁿ sebagai input, apakah mesin Turing ^ke-5 berhenti?) Yang kemampuan ini akan memungkinkan Anda untuk memecahkannya. Jadi, itulah kekuatan ketidakmerataan.

Untuk memahami titik mempertimbangkan kekuatan aneh ini, Anda mungkin perlu mengatakan sesuatu tentang upaya untuk membuktikan batas bawah sirkuit, dan fakta bahwa, dari sudut pandang banyak teknik batas bawah kami, keseragaman yang tampak seperti aneh kondisi ekstra yang hampir tidak pernah kita butuhkan.

Berikut ini adalah argumen "kehalusan" yang saya dengar baru-baru ini untuk membela klaim bahwa model komputasi yang tidak seragam harus lebih kuat daripada yang kita duga. Di satu sisi, kita tahu dari teorema hierarki waktu bahwa ada fungsi yang dapat dihitung dalam waktu yang tidak dapat dihitung dalam waktu O ( 2 n ) , misalnya. Di sisi lain, oleh teorema Lupanov, setiap fungsi boolean pada n input dapat dihitung dengan sirkuit ukuran ( 1 + o ( 1 ) ) 2 n /$O(2^{2n})$$O(2^{n})$$n$$(1+o(1))2^n/n$. Jadi jika kita mengklaim bahwa ketidakmerataan tidak memberikan banyak kekuatan, yaitu bahwa harus berperilaku seperti D T I M E ( f ( n ) O ( 1 ) ) , maka klaim ini harus tiba-tiba berhenti memegang ketika f ( n ) menjadi 2 O ( n ) . Tapi perilaku ini --- dua langkah kompleksitas berjalan beriringan sampai semuanya tiba-tiba menjadi sangat kuat --- tampak sewenang-wenang dan agak tidak wajar.$\mathsf{SIZE}(f(n))$$\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$$f(n)$$2^{O(n)}$

Di sisi lain, jika sirkuit cukup kuat sehingga , maka oleh Karp-Lipton hierarki polinomial runtuh ke tingkat kedua, yang juga akan aneh: mengapa quantifiers tiba-tiba berhenti memberikan komputasi lebih banyak daya ? Saya tidak yakin di mana ini meninggalkan kita.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

Saya berasumsi bahwa berbicara dengan seseorang tentang dan N P berarti bahwa orang itu akrab dengan pertanyaan P vs N P dan dualitas penyelesaian-verifikasi.$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$

$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$

$\mathbb{NP}$

$\mathbb{NP}$$\mathbb{P/poly}$

Poin kritis untuk memberikan pemahaman yang baik, yang saya pikir juga umum ketika mengajar subjek untuk pertama kalinya, adalah memperjelas bahwa saran dan "petunjuk" (yaitu sertifikat) adalah hal yang berbeda, dan bagaimana mereka berbeda.

Bagi saya, ilustrasi paling gamblang tentang kekuatan ketidakseragaman adalah bahwa versi Padding Problem yang sesuai dan empuk sudah ada di P / 1. Sedikit nasihat kemudian cukup untuk memutuskan bahasa ini dengan TM sepele yang hanya mengembalikan sedikit saran.

Tentu saja, padding bahasa yang tidak dapat dipastikan dengan jumlah eksponensial berarti tidak secara "moral" dalam P / poly. Tapi ini memang menunjukkan bahwa kita perlu berhati-hati ketika membiarkan ketidakseragaman.

Saya memiliki kesan bahwa masalah sebenarnya di sini adalah beban pembuktian yang sangat tidak masuk akal, bukan kekuatan ketidakseragaman yang tidak masuk akal. Seperti yang sudah ditekankan oleh jawaban oleh chazisop dan András Salamon, bahasa yang tidak dapat ditentukan menjadi dapat dihitung bahkan dalam bahasa yang tidak seragam yang sangat terbatas, karena beban pembuktian telah sepenuhnya dihapuskan.

$2^n$$n$$n$$n$$n$$2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$

$n$$\mathsf{NEXP}$

Algoritme non-deterministik yang sama juga akan menunjukkan , jika kita membutuhkan adanya bukti paling banyak panjang polinomial di n bahwa rangkaian cocok. Perhatikan bahwa P / p yang dibatasi ini$\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$$n$$\mathsf{P/poly'}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$) masih berlaku, tetapi pernyataan ini kurang menarik daripada teorema Karp-Lipton yang asli.