Mengurangi P vs NP ke SAT

Pertanyaan berikut ini menggunakan ide-ide dari kriptografi yang diterapkan pada teori kompleksitas. Yang mengatakan, itu adalah pertanyaan-kompleksitas teori murni, dan tidak ada pengetahuan kripto apa pun yang diperlukan untuk menjawabnya.

Saya sengaja menulis pertanyaan ini dengan sangat informal. Karena tidak memiliki detail, kemungkinan ini dinyatakan sedikit salah. Silakan tunjukkan koreksi dalam jawaban Anda.

Dalam kertas berikut:
Kriptografi Nonmalleable, Danny Dolev, Cynthia Dwork, dan Moni Naor, SIAM Rev. 45, 727 (2003), DOI: 10.1137 / S0036144503429856 ,
para penulis menulis:

Misalkan peneliti A telah memperoleh bukti bahwa P ≠ NP dan ingin mengomunikasikan fakta ini kepada profesor B. Misalkan, untuk melindungi dirinya sendiri, A membuktikan klaimnya kepada B dengan cara tanpa pengetahuan ...

Ada beberapa masalah standar NP-complete, seperti satisfiability (SAT), Graph-Hamiltonicity, dan Graph-3-Colorability (G3C), yang tidak memiliki bukti pengetahuan. Cara standar untuk membuktikan teorema NP adalah dengan terlebih dahulu menguranginya menjadi contoh dari masalah NP-lengkap yang disebutkan di atas, dan kemudian melakukan bukti nol-pengetahuan.

Pertanyaan ini berkaitan dengan pengurangan tersebut. Asumsikan bahwa P vs NP diselesaikan dengan salah satu cara berikut:

P = NP
P ≠ NP
P vs NP tidak tergantung pada teori himpunan aksiomatik standar.

Biarkan σ menunjukkan buktinya. Kemudian, P vs NP dalam bahasa NP (karena ada bukti singkat untuk itu). Pengurangan dari teorema (katakanlah, P ≠ NP) ke masalah NP-complete (katakanlah SAT) tidak tergantung pada σ. Itu adalah:

There exists a formula ϕ which is satisfiable if and only if P ≠ NP.

Ini jauh di luar imajinasi saya! Tampaknya, bahkan jika kita diberi bukti σ, tidak mungkin kita dapat membuat formula seperti itu ϕ.

Adakah yang bisa menjelaskan hal ini?

Selain itu, biarkan L menjadi bahasa NP di mana P vs NP berada. Bahasa ini terdiri dari banyak sekali teorema seperti P vs NP , dengan ukuran yang berubah-ubah.

Apa yang dimaksud dengan kandidat untuk L?
Bisakah L menjadi NP-lengkap?

— MS Dousti
sumber

Saya tidak mendapatkan bagian ini: "Biarkan σ menunjukkan buktinya. Kemudian, P vs NP ada di NP (karena ada bukti singkat untuk itu). Pengurangan dari teorema (katakanlah, P ≠ NP) ke NP masalah-lengkap (katakanlah SAT) adalah independen dari σ. Yaitu: Ada rumus ϕ yang memuaskan jika dan hanya jika P ≠ NP. ". Bisakah Anda jelaskan sedikit lebih banyak? Tidak masuk akal bagi saya bahwa "P vs NP ada di NP", bahkan jika Anda mengubahnya ke "apakah ada bukti panjang paling banyak n dalam teori T untuk P \ neq NP". Entah ada yang terkecil n seperti ada bukti ukuran itu untuk pertanyaan atau tidak ada bukti seperti itu.

— Kaveh

[lanjutan] Jika tidak ada fungsi yang selalu ditolak adalah menjawab pertanyaan, dan dalam kasus lain fungsi yang menerima angka lebih besar dari panjang bukti terkecil dan menolak apa pun yang kurang dari itu akan menyelesaikan pertanyaan. Pertanyaan yang diberikan , dan , apakah memiliki bukti ukuran n di adalah NP, tetapi jika Anda memperbaiki itu tidak masuk akal.

φ

$\varphi$

n

$n$

φ

$\varphi$

T

$T$

φ

$\varphi$

— Kaveh

Perhatikan juga bahwa pertanyaan yang "memberikan pernyataan (seperti ), apakah dapat dibuktikan dalam teori orde pertama ?" tidak decidable secara umum.

φ

$\varphi$

P \neq N P

$P \neq NP$

T

$T$

— Kaveh

@Kaveh: Klarifikasi ditambahkan.

— MS Dousti

beberapa ide menarik tetapi tidak masuk akal untuk mengatakan "bukti ada di NP" atau bahwa "ada bukti singkat". yaitu mungkin ada beberapa metode untuk membuat paralel itu tetapi harus didefinisikan secara lebih formal. yang paling dekat dengan ide-ide ini, tampaknya, akan menjadi kerangka bukti alami razborov / rudich.

— vzn

Jawaban:

Cara melihat pengujian pernyataan matematika (misalnya, resolusi P vs NP) sebagai pertanyaan dari formulir "adalah rumus .. memuaskan" adalah sebagai berikut:

Perbaiki beberapa sistem aksioma. Diberikan string dengan panjang n, apakah string adalah bukti untuk pernyataan matematika dalam sistem aksioma, adalah sesuatu yang dapat didefinisikan secara langsung: string harus terdiri dari proposisi. Setiap proposisi harus merupakan aksioma, atau harus mengikuti dari proposisi sebelumnya dengan salah satu aturan inferensi.

Bukan masalah untuk mendefinisikan rumus Boolean yang memverifikasi semua ini. Yang harus Anda ketahui adalah panjang dan buktinya!

— Dana Moshkovitz
sumber

P vs NP ada di NP (karena ada bukti singkat untuk itu)

Itu tidak masuk akal bagi saya. NP adalah kelas kompleksitas untuk masalah keputusan yang memiliki instance besar secara sewenang-wenang, dan P vs NP tidak memilikinya. Dari apa yang Anda katakan nanti:

biarkan L menjadi bahasa NP di mana P vs NP terletak.

Anda sebaliknya dapat berarti bahwa P vs NP adalah turunan dari masalah NP; tapi tentu saja! Ini juga merupakan contoh dari sejumlah masalah P, DTIME (n), dll. Secara khusus, berikut adalah dua kandidat DTIME (1) untuk L, tepatnya satu di antaranya benar: selalu kembali true; atau selalu kembali false.

— Alexey Romanov
sumber

Harap baca kembali catatan samping di awal pertanyaan. Saya meletakkan ini secara informal, dan itu mengarah pada kebingungan Anda. Untuk memformalkan, seseorang harus mempertimbangkan generalisasi dari teorema "P vs. NP". Untuk banyak n yang tak terhingga, generalisasi mengasumsikan teorema panjang n. Teorema memunculkan bahasa L, yang tidak dapat diputuskan dalam DTIME (1).

— MS Dousti

Maka bukti / penolakan singkat "P vs NP" hanyalah satu contoh dari "P vs NP umum" (mungkin yang mudah?), Dan tidak mengikuti bahwa GPvNP ada dalam NP.

— Alexey Romanov

Downvoted: Saya mengerti keberatan terhadap cara pernyataan yang dikutip pertama ini diucapkan, karena anggota NP ditetapkan dan "P vs NP" bukan set. Namun, pada keberatan kedua, "masalah NP" apa pun adalah masalah keputusan yang selalu dapat dirumuskan secara sah sebagai memutuskan apakah suatu string menggunakan bahasa; Saya tidak melihat ada yang salah dengan definisinya tentang L. Selanjutnya, seruan untuk DTIME yang sepele, selalu benar atau selalu salah (1) mengabaikan intinya: Jika kita sudah tahu SEMUA pernyataan yang benar, mungkin kita membangun tampilan- meja untuk mesin Turing untuk mengakses waktu yang konstan.

— Daniel Apon

[Lanjutan] Tetapi dengan asumsi L adalah bahasa yang tepat (yaitu set yang tak terbatas), maka Anda mengasumsikan tabel besar "pernyataan benar" yang dapat diakses, yang tampaknya melanggar semua jenis aturan. Atau lebih tepatnya: Mengapa argumen Anda untuk DTIME (1) tidak digeneralisasikan ke bahasa APAPUN, bukan hanya yang aneh yang sedang kami pertimbangkan sekarang?

— Daniel Apon

L \in D T I M E (1)

$L \in DTIME(1)$