Kode batang grafik

Dengan menggunakan homologi persisten, kita dapat menganalisis bentuk (topologi) dari awan titik menggunakan metode tiga langkah berikut:

• mengubah set titik menjadi kompleks sederhana (dan ada beberapa cara berbeda untuk melakukan ini) parameter dengan parameter "noise"
• Hitung kelompok homologi kompleks ini (sekali lagi parameterkan oleh parameter)
• lihat evolusi kelompok ketika parameter berevolusi.

"Waktu hidup" dari kelompok-kelompok yang berbeda tampak seperti kumpulan interval, yang disebut "barcode" dari bentuk.

Adakah penjelasan yang mudah tentang seperti apa barcode itu jika kompleks simplicial hanyalah kerangka 1 (yaitu grafik)? Dengan kata lain, misalkan kita mulai dengan grafik (daripada set point) dan kemudian lakukan dua langkah yang tersisa seperti di atas.

Betti-0 akan menjadi satu interval untuk setiap titik, dengan salah satu interval yang terlibat menghilang setiap saat suatu ujung menghubungkan dua komponen. Ini akan sangat mirip dengan jejak Union-Find yang berjalan pada grafik.

Betti-1 akan menjadi satu interval untuk setiap loop tertutup penting; sesuai dengan basis yang sedang berjalan untuk Ruang Siklus . Karena ini adalah grafik, ini akan muncul setiap kali tepi ditambahkan yang tidak menghubungkan dua komponen terpisah, dan tidak pernah hilang lagi.

Grafik sudah merupakan kompleks sederhana yang terdiri dari 0 dan 1 simplisia (node ​​dan edge). Representasi barcode hanya bermakna ketika kompleks simplisial dibangun selangkah demi selangkah sehingga kompleks pada langkah k adalah bagian dari kompleks pada langkah k + 1 yaitu simpul dan tepi dimasukkan ke dalamnya dalam beberapa urutan.

Dengan asumsi bahwa simpul ditambahkan pada "waktu" / "nilai parameter" 0 dan semua tepi ditambahkan pada "waktu" / "nilai parameter" 1: betti_0 barcode hanya akan menjadi satu set garis yang mewakili jumlah komponen terpisah dari grafik dan betti_1 hanya akan menjadi satu set garis yang mewakili setiap loop "dasar" dalam grafik (lihat ruang siklus grafik).

Ada beberapa cara untuk membangun fungsi-fungsi pengurutan seperti pada grafik misalnya menghitung fungsi apa pun di atas simpul (katakanlah derajat simpul mana pun) dan katakan bahwa simpul dengan derajat lebih rendah 'dilahirkan' sebelum simpul dengan derajat lebih tinggi. Sekarang katakan bahwa sebuah edge ditambahkan setiap kali kedua verteks muncul. Sekarang, Anda dapat membuat tampilan homologi persisten dari grafik yang diberikan di bawah distribusi derajat. Banyak fungsi lain seperti itu dapat dibangun misalnya pagerank, laplacians dll.

Apa yang dikatakan di atas benar tetapi saya akan menambahkan kerutan yang menarik yang seharusnya lebih dikenal.

Jika Anda menggunakan jarak grafik sebagai parameter kegigihan Anda dan kemudian menghitung kegigihan kompleks Rips Anda sebenarnya dapat menemukan homologi dimensi yang lebih tinggi juga. Misalnya angka betti yang bertahan untuk N menunjukkan ruang yang sama pada lingkaran terlihat seperti:

$$\begin{array}{*{27}{l}} N & b1 & b2 & b3 & b4 & b5 & b6 & b7 & b8 & b9 & b10 & b11 & b12 \\ 3 & & & & & & & & & & & \\ 4 & 1 & & & & & & & & & & \\ 5 & 1 & & & & & & & & & & \\ 6 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 7 & 1 & & & & & & & & & & \\ 8 & 1 & 0 & 1& & & & & & & & & \\ 9 & 1 & 2 & & & & & & & & & \\ 10 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 11 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 12 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & & & & & & \\ 13 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 14 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & \\ 15 & 1 & 4 & 0 & 2 & & & & & & & & \\ 16 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &1 & & & & \\ 17 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 18 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & \\ \end{array}$$

(di mana angka betti kegigihan hanya berarti menghitung jumlah batang dengan panjang berapa pun yang muncul di setiap dimensi)

Perbedaan antara situasi ini dan pertanyaan yang diajukan adalah bahwa saya tidak memfilter grafik - sebagai gantinya saya bertahan pada ruang metrik abstrak yang diwujudkan oleh jarak tepi grafik.