Baru-baru ini saya mengajar ekspander, dan memperkenalkan gagasan grafik Ramanujan. Michael Forbes bertanya mengapa mereka dipanggil seperti ini, dan saya harus mengakui bahwa saya tidak tahu. Siapa saja?
Baru-baru ini saya mengajar ekspander, dan memperkenalkan gagasan grafik Ramanujan. Michael Forbes bertanya mengapa mereka dipanggil seperti ini, dan saya harus mengakui bahwa saya tidak tahu. Siapa saja?
Jawaban:
Untuk menambahkan beberapa konten ke jawaban di sini, saya akan menjelaskan secara singkat apa dugaan Ramanujan.
Pertama-tama, dugaan Ramanujan sebenarnya adalah teorema, dibuktikan oleh Eichler dan Igusa. Ini adalah salah satu cara untuk menyatakannya. Misalkan menunjukkan jumlah solusi integral untuk persamaan kuadrat . Jika , itu tentu saja dibuktikan oleh Legendre, tetapi Jacobi memberikan perhitungan yang tepat: . Tidak ada yang sama persisnya diketahui untuk m yang lebih besar tetapi Ramanujan memperkirakan batas: r_m (n) = c_m \ sum_ {d \ mid n} d + O (n ^ {1/2 + \ epsilon}) untuk setiap \ epsilon> 0 , dimana c_m adalah konstanta yang bergantung hanya pada mε > 0 c m m.
Lubtozky, Phillips dan Sarnak membangun ekspander mereka berdasarkan hasil ini. Saya tidak terbiasa dengan rincian analisis mereka tetapi ide dasar, saya percaya, adalah untuk membangun grafik Cayley dari untuk q utama yang , menggunakan generator yang ditentukan oleh setiap jumlah -empat-kotak dekomposisi dari , di mana adalah modulo residu kuadratik . Kemudian, mereka menghubungkan nilai eigen dari grafik Cayley ini dengan untuk kekuatan integer .
Referensi, selain kertas Lubotzky-Phillips-Sarnak itu sendiri, adalah deskripsi singkat Noga Alon dalam Tools from Higher Algebra .
Wikipedia memberikan jawaban ini dengan agak cepat. Mengutip
Konstruksi grafik Ramanujan seringkali aljabar. Lubotzky, Phillips dan Sarnak menunjukkan bagaimana membangun keluarga tak terbatas grafik Ramanujan , kapan pun adalah bilangan prima. Bukti mereka menggunakan dugaan Ramanujan , yang mengarah ke nama grafik Ramanujan.
Makalah yang dimaksud adalah grafik Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips dan P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Nomor 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.