Chernoff terikat untuk jumlah tertimbang


14

Pertimbangkan , di mana lambda_i> 0 dan Y_i didistribusikan sebagai standar normal. Batasan konsentrasi seperti apa yang dapat dibuktikan pada X, sebagai fungsi dari koefisien (tetap) lambda_i?X=sayaλsayaYsaya2

Jika semua lambda_i sama maka ini adalah batas Chernoff. Satu-satunya hasil lainnya saya sadar adalah lemma dari kertas Arora dan Kannan ( "Belajar campuran sewenang-wenang Gaussians", STOC'01, Lemma 13), yang membuktikan konsentrasi bentuk , yaitu terikat tergantung pada jumlah kuadrat dari koefisien.PrHaib(X<E[X]-t)<exhal(-t2/(4sayaλsaya2)

Bukti lemma mereka dianalogikan dengan bukti biasa tentang ikatan Chernoff. Apakah ada batasan "kanonik" lainnya, atau teori umum yang fungsi lambda_i sedemikian rupa sehingga besarnya memastikan konsentrasi eksponensial yang baik (di sini, fungsi itu hanya jumlah dari kuadrat)? Mungkin beberapa ukuran umum entropi?

Referensi yang lebih standar untuk lemma Arora-Kannan juga akan lebih bagus, jika ada.


Seberapa jauh Anda dapatkan dalam mereproduksi ikatan mereka? Ini contoh khusus dari metode mgf eksponensial tampaknya memerlukan beberapa batas pintar dan analisis kasus.
Thomas Ahle

Jawaban:


14

Buku karya Dubhashi dan Panconesi mengumpulkan banyak batasan seperti itu, lebih banyak daripada yang bisa dicantumkan di sini. Jika Anda merasa sulit mengaksesnya dengan segera, ada survei online tentang batas-batas seperti Chernoff oleh Chung dan Lu


Terima kasih, ini terlihat sangat bagus. Secara khusus, Teorema 3.5 dari survei Chung dan Lu tampaknya identik dengan lemma Arora-Kannan yang saya nyatakan. Memperlihatkan jumlah lambda_i ^ 2 adalah wajar karena ini hanyalah varian dari X.
Thomas

Tautan Chung dan Lu sudah mati. Namun, Internet Archive memilikinya: web.archive.org/web/20070714095538/http://… . Judulnya adalah "Ketimpangan Konsentrasi dan Ketimpangan Kesamaan Martingale: Sebuah Survei" dan penulisnya adalah Fan Chung dan Linyuan Lu.
jbapple
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.