Sebuah karakterisasi tetap mendalam dari

Ini adalah pertanyaan tentang kompleksitas rangkaian. (Definisi ada di bawah.)

Yao dan Beigel-Tarui menunjukkan bahwa setiap rangkaian keluarga dari ukuran memiliki keluarga rangkaian yang setara dengan ukuran dari kedalaman dua , di mana gerbang keluaran adalah fungsi simetris dan tingkat kedua terdiri dari dari gerbang $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ kipas angin. Ini adalah "keruntuhan kedalaman" yang cukup luar biasa dari rangkaian keluarga: dari rangkaian kedalaman 100 Anda dapat mengurangi kedalaman menjadi 2, dengan hanya semburan semu-polinomial (dan satu gerbang mewah tapi masih dibatasi di bagian atas).

Pertanyaan saya: apakah ada cara yang diketahui untuk mengekspresikan keluarga sirkuit , sama? Lebih ambisius, bagaimana dengan keluarga sirkuit ? Jawaban potensial memiliki bentuk: "Setiap sirkuit ukuran dapat dikenali oleh kedalaman-dua keluarga ukuran , di mana gerbang keluaran adalah fungsi dari tipe dan gerbang level kedua memiliki tipe " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

Tidak harus menjadi mendalam-dua, apapun hasil tetap mendalam akan menarik. Membuktikan bahwa setiap sirkuit dapat diwakili di kedalaman 3 oleh sirkuit yang hanya terdiri dari gerbang fungsi simetris akan sangat menarik. $TC^0$

Beberapa pengamatan kecil:

Jika jawabannya sepele untuk setiap fungsi Boolean (kita dapat mengekspresikan fungsi apa pun sebagai dari s). Untuk konkret, mari kita minta . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
Jawabannya juga sepele jika salah satu atau diizinkan untuk menjadi fungsi sewenang-wenang yang dapat dihitung dalam ... :) Saya jelas tertarik pada fungsi "sederhana", apa pun artinya ini. Agak licin untuk mendefinisikan karena ada keluarga fungsi simetris yang tidak dapat dihitung. (Ada bahasa unary yang tidak dapat dihitung.) Jika Anda suka, Anda dapat dengan mudah mengganti dan dengan fungsi simetris dalam pernyataan tersebut, namun saya akan tertarik dengan pilihan gerbang yang rapi. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Sekarang untuk beberapa ingatan singkat notasi:

adalah kelas yang dikenali oleh keluarga fan-in konstan-kedalaman sirkuit dengan , , dangerbang untuk konstan independen dari ukuran sirkuit. Sebuah gerbang mengembalikan jika dan hanya jika jumlah input yang habis dibagi . $ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

adalah kelas yang dikenali oleh sirkuit dengan kedalaman konstan dengangerbang dari fan-in tanpabatas. $TC^0$ $MAJORITY$

adalah kelas yang dikenali oleh sirkuit kedalaman logaritmik dengangerbang , , dari fan-in yang dibatasi. $NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

Diketahui bahwa ketika ukuran rangkaian dibatasi polinomial dalam jumlah input.) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
sumber

Perhatikan bahwa sirkuit kedalaman polinomial ukuran

terdiri dari gerbang simetris dapat dihitung dengan sirkuit kedalaman polinomial ukuran

terdiri dari gerbang MAJ. (Di sini ukuran seperti biasa adalah jumlah kabel). Jadi pada dasarnya Anda menanyakan apakah

dapat kedalaman dikurangi untuk dirinya sendiri?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Ya, itu salah satu cara melihatnya! Secara umum, saya sedang mencari setiap simulasi tetap mendalam yang menarik dari

atau

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Ryan Williams

Ryan, saya tidak melihat jawaban seperti apa yang Anda cari di sini. Jika Anda benar-benar berbicara tentang gerbang simetris maka (karena ini dapat disimulasikan oleh mayoritas di kedalaman dua) pertanyaan Anda setara dengan runtuhnya TC0 ke kedalaman konstan (mungkin dengan beberapa peningkatan ukuran super-polinomial ringan) - yang terkenal masalah terbuka. Jika Anda ingin "bersantai" simetri, maka hasil Barrington tampaknya sebaik yang Anda harapkan?

— Noam

@Noam: Saya ingin melihat apakah ada jawaban menarik lainnya; jika tidak ada, maka saya akan memberikan 300 kepada Lance. Ada juga kemungkinan menengah, misalnya kedalaman-tiga sirkuit dengan fungsi simetris pada output tetapi tidak harus simetris pada dua lapisan lainnya. Bagaimanapun, membuat Anda berpikir tentang hal itu selama 5 menit sudah bernilai 300 karunia.

— Ryan Williams

Dan sekarang (setelah 8 November) kita tahu asal usul pertanyaan ini ...

— slimton

Jawaban:

Inilah sedikit perluasan dari komentar saya untuk jawaban Boas. Agrawal, Allender dan Datta dalam makalah mereka Pada , , dan Sirkuit Aritmatika $TC^0$ $AC^0$ memberikan karakterisasi dalam hal sirkuit aritmatika. Yaitu, mereka menunjukkan bahwa bahasa ada di jika dan hanya ada fungsi di dan bilangan bulat sedemikian rupa sehingga $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

jika dan hanya jika . $x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

Perhatikan bahwa adalah bentuk khusus dari rangkaian aritmatika kedalaman konstan di atas (hanya konstanta 0 dan 1 yang diizinkan, dan input variabel dapat atau ). $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

Mengingat bahwa, seperti yang ditunjukkan Boaz dalam jawabannya, ada pengurangan kedalaman non-sepele untuk sirkuit aritmatika, ini mungkin sesuatu yang perlu diperhatikan.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
sumber

Barrington Teorema harus mendapatkan Anda poli-size mendalam-3 sirkuit untuk dengan gerbang atas yang tidak terlalu aneh (mengalikan 5 siklus). $NC^1$

— Lance Fortnow
sumber

Saya setuju bahwa teorema Barrington menyiratkan sesuatu yang menarik di sini. Tapi gerbang keluaran ini adalah fungsi yang sangat "tidak simetris" :)

— Ryan Williams

Sebenarnya sepertinya Anda mendapatkan sirkuit kedalaman 1 ... Mewakili permutasi sebagai (katakanlah) matriks Boolean 5x5, itu hanya proyeksi ke gerbang permutasi-multiplikasi.

— Noam

Saya tidak tahu jawabannya, dan saya kira ini pertanyaan terbuka. Ada sangat sedikit contoh yang dikenal dari "simulasi mengejutkan" seperti yang mirip dengan Yao / Beigel-Tarui dan Barrington. Satu hal di sepanjang garis ini yang muncul dalam pikiran adalah hasil Valiant bahwa untuk setiap yang dapat dihitung oleh -depth -ukuran sirkuit, ada di yang setuju dengan pada $f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ . (Dan jika sirkuit untukhanya menggunakan operasi linear daripada sirkuit untuk, yang mengarah ke koneksi kekakuan batas / matriks yang lebih rendah). Tetapi tidak seperti ini tentang fungsi multi-output, dan juga hanya untuk sirkuit berukuran linier. Perhatikan juga bahwareduksi non-sepele ke kedalaman 4dikenal untuk sirkuit aritmatika. $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Boaz Barak
sumber

Menariknya ada juga karakterisasi

dalam hal rangkaian aritmatika: cse.iitk.ac.in/users/manindra/other/…

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer, dapatkah Anda menambahkan tautan sebagai jawaban terpisah? Terima kasih!

— Ryan Williams

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$