Memeriksa apakah faktor polinomial menjadi faktor linier

Biarkan $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ menjadi polinomial yang diberikan oleh sirkuit aritmatika $C$ ukuran . Diberikan sebagai input, apakah ada algoritma deterministik untuk memeriksa apakah semua faktor irreducible dari di adalah bentuk linear? Pada catatan terkait, diberikan bentuk linier , dapatkah kita memeriksa secara deterministik apakah merupakan faktor dari $s$ $C$ $f$ $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$ $l$ $f$ . Tentu saja, kami ingin menjalankan waktu menjadi polinomial dalam kedua kasus. Dengan ukuran, yang kami maksud adalah ukuran total bit. Juga, dapat diasumsikan bahwa derajat adalah polinomial dalam . $f$ $n$

ds.algorithms algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
sumber

Ketika Anda mengatakan "ukuran " apakah itu berarti jumlah gerbang / kabel, atau ukuran bit total (dengan mempertimbangkan bit yang digunakan untuk menggambarkan konstanta di sirkuit)?

s

$s$

— Joshua Grochow

@ JoshuaGrochow, yeah size adalah ukuran bit toal di sini.

— Gorav Jindal

Tiga komentar Anda mungkin sudah ada dalam pikiran, tetapi hanya dalam kasus: 1. Mengenai waktu polinom, algoritma faktorisasi untuk rangkaian aritmatika adalah polinom dalam ukuran dan tingkat polinomial, dan saya tidak mengetahui algoritma untuk tugas terkait yang berjalan di polinomial waktu dalam ukuran saja. 2. Mengenai determinisme, algoritma ini diacak dan varian deterministik menjadi eksponensial dalam jumlah variabel. 3. Pertanyaan kedua dapat diterjemahkan ke dalam masalah PIT, jadi pertanyaan Anda sama dengan deromisasi beberapa algoritma PIT tertentu.

— Bruno

Saya juga menambahkan bahwa saya menemukan masalah ini sangat menarik dan saya ingin tahu apa yang sudah diketahui tentang ini!

— Bruno

kembali PIT, pengujian identitas polinomial melalui Schwartz-Zippel / wikipedia & ada banyak penelitian aktif di bidang itu. (apakah pg PIT dapat digunakan untuk faktor bilangan bulat, tetapi apakah ref yang menguraikan cara menggunakannya untuk faktor polinomial?)

— vzn

Sejauh yang saya tahu, algoritma terbaik yang kami miliki saat ini untuk memeriksa apakah (diberikan oleh rangkaian aritmatika) dapat difaktorkan menjadi faktor linier adalah melalui algoritma acak Kaltofen (PDF) yang benar-benar menghasilkan kotak hitam untuk semua faktor tak tereduksi dari , dan bekerja pada bidang yang cukup besar. Faktanya, masalah faktorisasi polinomial untuk sirkuit umum baru-baru ini ditunjukkan oleh Kopparty, Saraf, dan Shpilka setara dengan masalah blackbox-PIT untuk sirkuit umum. $f$ $f$

Seperti yang disebutkan oleh Bruno, jika Anda tertarik untuk memeriksa sirkuit yang diberikan dapat dibagi dengan yang diberikan , maka ini berkurang menjadi masalah PIT tertentu. Kami tidak tahu bagaimana melakukan ini secara deterministik secara umum, tetapi saya tahu satu kasus khusus di mana kami tahu bagaimana melakukan PIT ini. Ada algoritma poli-waktu deterministik (PDF) untuk memeriksa apakah suatu membagi polinomial jarang . $\ell$ $\ell$ $f$

$f$ $f \bmod \ell$

— Ramprasad
sumber