Kekerasan pendekatan - kesalahan aditif


24

Ada literatur yang kaya dan setidaknya satu buku yang sangat bagus menguraikan kekerasan yang diketahui hasil perkiraan untuk masalah NP-keras dalam konteks kesalahan multiplikasi (misalnya 2-perkiraan untuk penutup vertex optimal dengan asumsi UGC). Ini juga termasuk kelas kompleksitas perkiraan yang dipahami dengan baik seperti APX, PTAS dan sebagainya.

Apa yang diketahui kapan kesalahan aditif dipertimbangkan? Pencarian literatur menunjukkan beberapa hasil tipe upper bound, terutama untuk pengemasan bin (lihat misalnya http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.ps ), tetapi apakah ada klasifikasi kelas kompleksitas yang lebih komprehensif atau adakah alasan mengapa itu tidak begitu menarik atau relevan?

Sebagai komentar lebih lanjut, untuk pengemasan bin, misalnya, sejauh yang saya tahu tidak ada alasan teoritis mengapa algoritma waktu poli yang selalu dalam jarak aditif dari optimal 1 tidak dapat ditemukan (walaupun saya berdiri untuk dikoreksi ). Akankah algoritma seperti itu meruntuhkan kelas kompleksitas atau memiliki efek teori knock-on signifikan lainnya?

EDIT: Ungkapan kunci yang saya tidak gunakan adalah "kelas perkiraan asimptotik" (terima kasih Oleksandr). Tampaknya ada beberapa pekerjaan di bidang ini tetapi belum sampai pada tahap kematangan yang sama seperti teori kelas perkiraan klasik.


Apa judul buku yang Anda sebutkan?
Karolina Sołtys

2
Saya tidak yakin itu benar. Lihat halaman 2 dari catatan yang terhubung dalam pertanyaan, khususnya teorema 3 dan 4 dan masalah terbuka yang dinyatakan tepat di bawah teorema 4. Buku khusus yang saya maksudkan adalah Algoritma Approximation oleh Vijay Vazirani, yang sangat bagus.
Raphael

Frieze dan Kannan ( research.microsoft.com/en-us/um/people/kannan/Papers/… ) memberikan algoritma waktu konstan acak dengan aditif kesalahan epsilon n ^ k untuk masalah kepuasan kendala maksimal dengan kendala arity k.
Warren Schudy

Saya pikir pengemasan bin dapat diperkirakan dalam OPT + 1 sepenuhnya konsisten dengan pengetahuan saat ini. Bahkan konfigurasi LP diduga memiliki gap integralitas aditif 1 (saya menemukan dugaan ini agak liar, tetapi tidak ada contoh tandingan yang diketahui).
Sasho Nikolov

Jawaban:


23

Pertanyaannya agak terbuka, jadi saya tidak berpikir itu bisa dijawab sepenuhnya. Ini adalah jawaban parsial.

Pengamatan yang mudah adalah bahwa banyak masalah tidak menarik ketika kita mempertimbangkan perkiraan aditif. Sebagai contoh, secara tradisional fungsi objektif dari masalah Max-3SAT adalah jumlah klausa yang puas. Dalam formulasi ini, kira-kira Max-3SAT dalam kesalahan aditif O (1) setara dengan memecahkan Max-3SAT secara tepat, hanya karena fungsi tujuan dapat diskalakan dengan menyalin formula input berkali-kali. Perkiraan multiplikatif jauh lebih penting untuk masalah semacam ini.

[Sunting: Dalam revisi sebelumnya, saya telah menggunakan Set Independen sebagai contoh pada paragraf sebelumnya, tetapi saya mengubahnya ke Max-3SAT karena Independent Set bukan contoh yang baik untuk menggambarkan perbedaan antara pendekatan multiplikatif dan pendekatan aditif; mendekati Set Independen bahkan dalam faktor multiplikasi O (1) juga NP-hard. Faktanya, ketidaksepakatan yang jauh lebih kuat untuk Independent Set ditunjukkan oleh Håstad [Has99].]

Tetapi, seperti yang Anda katakan, perkiraan aditif menarik untuk masalah seperti pengemasan bin, di mana kami tidak dapat mengukur fungsi objektif. Selain itu, kita sering dapat merumuskan kembali masalah sehingga pendekatan aditif menjadi menarik.

Misalnya, jika fungsi objektif Max-3SAT didefinisikan ulang sebagai rasio jumlah klausa yang puas terhadap jumlah klausa total (seperti yang kadang-kadang dilakukan), pendekatan aditif menjadi menarik. Dalam pengaturan ini, aproksimasi aditif tidak lebih sulit daripada aproksimasi multiplikatif dalam arti bahwa aproksibilitas dalam faktor multiplikasi 1− ε (0 < ε <1) menyiratkan aproksimasi dalam kesalahan aditif ε , karena nilai optimal selalu paling banyak 1.

Fakta menarik (yang tampaknya sayangnya sering diabaikan) adalah bahwa banyak hasil yang tidak dapat diperkirakan membuktikan kelengkapan NP dari masalah kesenjangan tertentuyang tidak mengikuti hanya dari NP-hardness dari pendekatan multiplikasi (lihat juga Petrank [Pet94] dan Goldreich [Gol05, Bagian 3]). Melanjutkan contoh Max-3SAT, itu adalah hasil yang terkenal oleh Håstad [Has01] bahwa NP-sulit untuk memperkirakan Max-3SAT dalam faktor multiplikasi konstan yang lebih baik dari 7/8. Hasil ini saja tampaknya tidak menyiratkan bahwa NP-sulit untuk memperkirakan versi rasio Max-3SAT dalam kesalahan aditif konstan di luar batas tertentu. Namun, apa yang dibuktikan oleh Håstad [Has01] lebih kuat daripada sekadar ketidak-taksiran multiplikatif belaka: ia membuktikan bahwa masalah janji berikut ini adalah NP-complete untuk setiap konstanta 7/8 < s <1:

Gap-3SAT 's
Instance : Formula CNF φ di mana setiap klausa melibatkan tepat tiga variabel berbeda.
Ya-janji : φ memuaskan.
No-janji : Tidak ada kebenaran tugas memenuhi lebih dari s sebagian kecil dari klausul φ.

Dari ini, kita dapat menyimpulkan bahwa NP-sulit untuk memperkirakan versi rasio Max-3SAT dalam kesalahan aditif lebih baik dari 1/8. Di sisi lain, tugas acak sederhana yang biasa memberikan perkiraan dalam kesalahan aditif 1/8. Oleh karena itu, hasil oleh Håstad [Has01] tidak hanya memberikan ketidaksimetrisan multiplikasi yang optimal untuk masalah ini, tetapi juga ketidaksungguhan aditif yang optimal. Saya kira ada banyak hasil tambahan yang tidak dapat diperkirakan seperti ini yang tidak muncul secara eksplisit dalam literatur.

Referensi

[Gol05] Oded Goldreich. Tentang masalah yang dijanjikan (survei untuk mengenang Shimon Even [1935-2004]). Kolokium Elektronik tentang Kompleksitas Komputasi , Laporan TR05-018, Februari 2005. http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/

[Has99] Johan Håstad. Klik sulit untuk diperkirakan dalam n 1− ε . Acta Mathematica , 182 (1): 105–142, Maret 1999. http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/

[Has01] Johan Håstad. Beberapa hasil tidak optimal yang optimal. Jurnal ACM , 48 (4): 798-859, Juli 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098

[Pet94] Erez Petrank. Kerasnya perkiraan: Celah lokasi. Kompleksitas Komputasi , 4 (2): 133–157, April 1994. http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286


3
Sebagai contoh lain, saya pikir wajar saja untuk memformulasikan masalah max-cut sehingga kita memaksimalkan fraksi edge pada cut. Sekali lagi, kami memiliki hasil positif dan negatif untuk perkiraan aditif.
Jukka Suomela

1
@Jukka, bisakah Anda memberikan referensi untuk formulasi Max-cut ini?
Mohammad Al-Turkistany

1
Terima kasih banyak. Tampaknya ini adalah area yang membutuhkan setidaknya survei. Kompleksitas kebun binatang bahkan tidak menyebutkan kelas perkiraan kesalahan aditif sejauh yang saya bisa lihat (meskipun begitu besar saya mungkin melewatkan sesuatu).
Raphael

@ Raphael: Saya akan menemukan survei (atau pointer ke satu) agak berguna. Sejauh yang saya tahu, kelas algoritma aproksimasi terakhir disurvei sekitar sepuluh tahun yang lalu, dan saya menemukan presentasi jauh dari jelas.
András Salamon

6

Ini adalah jawaban parsial

SEBUAHBSSEBUAHBS

NP

-Setiap grafik kubik adalah tepi 4-warna dalam waktu polinomial tetapi tepi 3-warna NP-keras.

SEBUAHBSP=NP


Terima kasih. Saya perhatikan bahwa ABS tidak terdaftar dalam kompleksitas zoo qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo:A . Apakah Anda punya referensi untuk itu?
Raphael


Apakah saya benar dalam berpikir bahwa nama ABS untuk kelas kompleksitas adalah yang baru saja Anda ciptakan atau apakah ada referensi untuknya? Tautan yang Anda poskan sepertinya tidak menyebutkannya.
Raphael

@ Raphael, Tidak, saya tidak pernah membuat nama ABS, saya sudah membacanya di suatu tempat sejak lama.
Mohammad Al-Turkistany

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.