Apakah masalah pengenalan 3-bola NP-lengkap?

13

Diketahui bahwa menentukan apakah triangulasi 3-manifold yang diberikan adalah 3-bola di NP, melalui kerja oleh Saul Schleimer pada tahun 2004: "Pengenalan bola terletak pada NP" arXiv: math / 0407047v1 [math.GT] . Saya bertanya-tanya apakah ini telah ditetapkan untuk melengkapi NP dalam lima atau enam tahun terakhir? Masalah analog, seperti masalah genus simpul 3-manifold, telah ditunjukkan NP-lengkap.

— Joseph O'Rourke
sumber

3

Masalahnya sekarang diketahui juga berada di co-NP, lihat pengumuman di J. Hass, hasil baru pada kompleksitas mengenali 3-bola, Oberwolfach Rep. 9 (2012), no. 2, 1425 {1426.

— Arnaud

@Arnaud: Ada pembaruan tentang ini? Saya tidak dapat menemukan apa pun dari Hass sejak saat itu mengenai masalah tersebut. Yang terbaik yang bisa saya temukan adalah hasil CONP yang dikondisikan pada GRH yang saya masukkan dalam jawaban baru saya, dan yang sepertinya tidak menyebutkan Hass :(.

— Joshua Grochow

@ JoshuaGrochow Maaf, komentar saya tidak akurat dan klaim oleh Joel Hass (saya juga lupa mengatakan bahwa ini dengan G. Kuperberg) juga mengasumsikan GRH. Sejauh yang saya tahu, penulisan lengkap belum muncul.

— Arnaud

15

Jika ini NP-lengkap, maka tidakkah Anda akan membuktikan bahwa tidak ada set invarian yang dapat dihitung secara polinomial waktu-sama dari manifol 3 yang membedakan 3-bola dari manifol 3 lainnya. Saya akan sangat terkejut jika ini diketahui.

— Peter Shor
sumber

3

Secara khusus, hasil kekerasan NP akan membuktikan bahwa 3-bola tidak dapat dibedakan dari homologi 3-bola lainnya dalam waktu polinomial.

— Jeffε

7

Sekadar menambah jawaban Peter: masalah simpul yang tidak tertekuk pada simpul tiga ditunjukkan dalam NP oleh Hass, Lagarias, dan Pippenger. Ian Agol telah membuktikan bahwa masalah unknotting ada dalam co-NP (tetapi lihat komentarnya di MathOverflow). Rasanya, paling tidak bagi saya, bahwa masalah pengenalan tiga-bola jauh lebih mirip dengan pembelahan dari pada simpul genus pada umumnya berlipat tiga. (Karena disertifikasi oleh kehadiran permukaan karakteristik Euler yang positif.)

Jadi saya akan bertaruh bahwa pengakuan tiga-bola juga dalam co-NP. Langkah ke arah ini adalah untuk menunjukkan bahwa pengenalan manifold toroidal yang tidak dapat direduksi berada di NP, langsung mengikuti Agol. Sedikit lebih kuat akan menunjukkan bahwa pengakuan berjenis Haken terletak pada NP. Memisahkan tiga bola dari manifold non-toroidal tereduksi, lebih sulit. Tapi mungkin yang harus dilakukan di sana adalah menggunakan Geometriisasi - jika manifoldnya tertutup, dapat diorientasikan, tidak dapat direduksi, dan atoroidal maka ia memiliki salah satu dari delapan geometri Thurston. Mungkin mudah untuk mengesahkan semua manifold geometris tetapi non-hiperbolik, katakanlah melalui alat Heegaard yang hampir normal. (Meskipun batas kerumitan Hass, Lagarias, dan Pippenger harus diganti, entah bagaimana.)

$M$

$M$ $N$ $N$ $N$ $M$

$M$

— Sam Nead
sumber

3

Makalah ini menunjukkan (meskipun saya belum memverifikasinya) bahwa 3-sphere recognition * dalam coNP dengan asumsi GRH:

$SL(2,\mathbb{C})$

(Mungkin menarik: makalah tindak lanjut arXiv: 1610.04092 [math.GT] menggunakan ini untuk mengembangkan algoritma menggunakan basis Grobner.)

* Secara teknis dinyatakan bahwa mengenali 3-bola di antara bilangan bulat homologi 3-bola ada dalam koNP dengan asumsi GRH. Saya bukan ahli dalam bidang ini, tetapi bagi saya jelas bahwa orang dapat menghitung homologi bilangan bulat yang diberi triangulasi dalam waktu-poli, dan jika homologi bilangan bulat tidak cocok dengan bidang 3-bola maka jelas tidak 3-bola.

— Joshua Grochow
sumber