Masalah polinomial dalam kelas grafik yang didefinisikan oleh subgraf siklik terlarang

Crossposted dari MO .

Misalkan adalah kelas grafik yang didefinisikan oleh sejumlah terbatas dari subgraph yang diinduksi terlarang, yang semuanya adalah siklik (mengandung setidaknya satu siklus).$C$

Apakah ada masalah grafik NP-hard yang dapat diselesaikan dalam waktu polinomial untuk selain penutup Clique dan Clique?$C$

Jika saya ingat dengan benar, ini tidak mungkin untuk set independen (kecuali ).$P=NP$

Pencarian di graphclasses.org tidak menemukan apa pun.

Kelas dimana Clique dan Clique mencakup polinomial adalah C5, C6, X164, X165, sunlet4, bebas segitiga

Edit

Negatif untuk IS dan Dominasi ada di makalah ini . Halaman 2, grafik .$S_{i,j,k}$

Saya pikir ada sejumlah masalah sulit yang menjadi mudah untuk grafik bebas segitiga; terutama yang berhubungan langsung dengan segitiga seperti Partition Into Triangles (Apakah G memiliki partisi menjadi segitiga?). Contoh kurang sepele lainnya termasuk:

• Masalah Stabil Cutset (Apakah G memiliki set independen S sehingga GS terputus?). Lihat: Pada sutset stabil dalam grafik, Discrete Applied Math. 105 (2000) 39-50.

• Basis Grafik Persimpangan (Apakah G grafik persimpangan dari himpunan bagian dari himpunan elemen k?). Lihat: Masalah [GT59] dalam: Garey & Johnson, Komputer dan Ketidaktertarikan: Panduan untuk Teori Kelengkapan NP.

Berikut adalah beberapa contoh tambahan untuk jawaban Mon Tag:

• Masalah Cutset Terputus (Apakah mengakui satu set simpul sedemikian sehingga dan subgraf diinduksi oleh terputus) adalah NP-complete (lihat di sini ). Sangat mudah untuk melihat bahwa masalah ini secara polinomi dipecahkan untuk grafik bebas segitiga (karenanya juga masalah Stabil Cutset seperti yang disebutkan oleh Mon Tag).S G - S G $G$$S$$G-S$$G$$S$

• Mengenali grafik garis segitiga adalah NP-complete (lihat di sini ), Juga mudah untuk melihat bahwa masalah ini menjadi polinomi untuk grafik input bebas segitiga.

• Menghitung pencocokan terhubung maksimum sulit (lihat di sini . Pencocokan terhubung jika, untuk setiap pasangan tepi yang cocok, ada sisi lain dari insiden grafik untuk keduanya). Dapat dibuktikan bahwa masalah ini secara polinomi dipecahkan untuk -gratis grafik.$(C_3, C_4, C_5)$

Dari komentar di atas: di Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Grafik Isomorfisme untuk Kelas Grafik Dicirikan oleh dua Subgraf Terlarang : GI adalah waktu polinomial (sepele) yang dapat dipecahkan untuk grafik, tetapi juga (kurang) sepele) untuk .$(K_s,I_t)\text{-free}$$(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

EDIT : seperti yang tercantum dalam komentar, tidak mengandung siklus (saya membaca pengantar makalah terlalu cepat).$K_{1,t}$

Setelah berpikir sedikit tentang itu, tampaknya mudah untuk membuktikan yang berikut (asli?):

HASIL NEGATIF: untuk setiap himpunan terbatas di mana setiap berisi siklus, masalah grafik isomorfisme (GI) terbatas pada kelas dari grafik adalah GI-selesai.$\{H_1,...H_k\}$$H_i$$\mathcal{C}$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$

Bukti: Memperbaiki kelas grafik di mana setiap berisi siklus, dan diberi , mari menjadi panjang dari siklus terpanjang dari . Mengganti setiap tepi dari dengan jalan panjang menambahkan node baru (lihat gambar di bawah) . Dengan membangun grafik baru adalah memang siklus terpendek yang mungkin adalah yang dibentuk oleh segitiga yang harus memiliki panjang$(H_1,...,H_k)\text{-free}$$H_i$$G_1,G_2$$r$$H_i$$(u,v)$$G_1,G_2$$l = \lceil r/3 \rceil$$l$$(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$$G'_1, G'_2$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$$3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$; dan mudah untuk membuktikan bahwa mereka isomorfik jika dan hanya jika asli adalah isomorfik.$G_1,G_2$

Gambar : grafik di sebelah kiri, dan yang setara grafik di sebelah kanan (misalkan siklus terpanjang dari memiliki panjang , jadi setiap tepi diganti dengan jalur panjang .$G_1$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$$G'_1$$H_i$$r=15$$G_1$$l = 5$

Kami juga dapat memperluas hasil negatif untuk masalah NPC siklus Hamilton, memang itu adalah akibat langsung dari yang berikut (asli?):

Teorema : untuk setiap , masalah siklus Hamilton tetap NP-lengkap bahkan jika kita grafik tidak mengandung siklus panjang .$k \geq 3$$G$$\leq k$

Bukti Kita tahu bahwa masalah siklus Hamilton adalah NPC bahkan pada grafik diarahkan planar dengan setiap node memuaskan: (Papdimitriou dan Vazirani, Pada Dua Masalah Geometris Terkait dengan Traveling Salesman Problem ). Kita dapat mengubah grafik menjadi grafik undirectde cukup menambahkan sebuah simpul di tepi masuk node yang memiliki , dan ke tepi keluar dari simpul yang memiliki . Kemudian kita bisa mengganti node dengan gadget pada gambar di bawah ini. Sangat mudah untuk melihat bahwa hanya ada dua traversal yang valid ($G$$v$$outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$$G$$G'$$v$$indeg(v )=1$$v$$indeg(v)=2$$G'$zigzags ) yang mengunjungi setiap simpul gadget tepat sekali (jalur merah dan hijau pada gambar): gadget tidak dapat dilintasi dari atas ke bawah, jika tidak jalur horizontal (masuk atau keluar) akan terpotong. Selain itu, kami dapat menempatkan cukup node pada segmen vertikal / horizontal gadget, dan menambah jumlah zig-zagnya, untuk memastikan bahwa tidak ada siklus panjang yang dimungkinkan dalam gadget atau dalam segitiga 3 gadget yang dihubungkan bersama. Ini memastikan bahwa jika grafik yang dihasilkan memiliki siklus Hamiltonian, maka grafik asli juga memiliki siklus Hamiltonian (kebalikannya langsung dengan konstruksi gadget).$\geq k$$G''$$G$

Akibat wajar: Masalah siklus dan jalur Hamilton tetap lengkap-NP bahkan jika terbatas pada , di mana setiap berisi siklus.H $(H_1,...,H_k)\text{-free}$$H_i$

MAX-CUT tetap NP-complete.

Lemma 3.2 max-cut sederhana adalah NP-lengkap dalam dua kelas grafik berikut:

grafik tidak mengandung siklus panjang paling banyak , untuk setiap .k $k$$k \ge 3$

Mereka membagi dua tepi.

Dari "MAX-CUT dan hubungan kontainmen dalam grafik, Marcin Kaminski"