Apakah wilayah layak dari polyhedral SDP ini?

Kami memiliki program semidefinite (SDP) yang wilayah yang layak hanya memiliki sejumlah matriks peringkat- terbatas . Bisakah kita menyimpulkan bahwa wilayah yang layak untuk SDP ini adalah polyhedral? $1$

Kami percaya ini benar karena bagian 'bundar' dari kerucut matriks semidefinite adalah karena matriks peringkat- ekstrim . Batas 'melengkung' apa pun dari wilayah yang layak harus terjadi dari sinar ekstrim dalam jumlah tak terbatas. $1$

Sebagai konsekuensinya, dapatkah kita mengklaim bahwa SDP ini dapat diselesaikan tepat dalam waktu polinomial seperti halnya program linear yang juga memiliki wilayah layak polihedral?

convex-optimization semidefinite-programming polytope

— Pawan Aurora
sumber

Tidak, bahkan jika ada sejumlah matriks peringkat-1 layak yang terbatas, wilayah yang layak dari SDP tidak harus berupa polyhedral.

Spectrahedron yang selalu Anda lihat dalam aplikasi adalah , yaitu serangkaian matriks Gram dari vektor satuan. Sebagai contoh, ini adalah wilayah yang layak untuk relaksasi SDP Goemans-Williamson untuk MaxCut. Tidak boleh lebih dari peringkat-1 matriks dalam , karena menyiratkan untuk semua , dan oleh karena itu . $S_n = \{X: X \succeq 0, X_{11} = \ldots = X_{nn} = 1\}$ $n$ $2^n$ $S_n$ $xx^T \in S_n$ $x_i^2 = 1$ $i$ $x \in \{-1, 1\}^n$

Sekarang mari kita lihat . Menulis $S_3$

X = (\begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{array})

$X = \left( \begin{array}{ccc} 1 & x & y\\ x & 1 & z\\ y & z & 1 \end{array} \right)$

Menurut kriteria Sylvester , jika dan hanya jika semua anak di bawah umur utama adalah non-negatif. Ini memberikan ketidaksetaraan berikut: tiga ketidaksetaraan pertama datang dari menulis anak di bawah umur 2-by-2, dan terakhir berasal dari menulis penentu . $X \succeq 0$

\begin{aligned} x^{2}, y^{2}, z^{2} & \leq 1 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} & \leq 1 + 2 x y z \end{aligned}

$\begin{align} x^2, y^2, z^2 &\leq 1\\ x^2 + y^2 + z^2 &\leq 1 + 2xyz \end{align}$

X

$X$

Sekarang mudah untuk melihat set ini bukan polyhedral. Misalnya, biarkan himpunan menjadi proyeksi ke variabel bebas , dan pertimbangkan . Set polyhedral tetap polyhedral setelah proyeksi ortogonal dan persimpangan dengan halfspaces, jadi jika adalah polyhedral, maka juga. Tetapi adalah disk. $T$ $S_3$ $x, y, z$ $U = T \cap \{(x, y, z): z = 0\}$ $S_3$ $U$ $U = \{(x, y, 0): x^2 + y^2 \leq 1\}$

Bahkan ada juga argumen geometris langsung bahwa adalah disk. Jika adalah matriks Gram dari vektor , maka pengaturan berarti , dan adalah koordinat proyeksi ke bidang yang direntang oleh dan , diekspresikan dalam basis ortonormal yang diberikan oleh dan . Karena dapat berupa vektor satuan apa pun, dapat berupa vektor dengan panjang maksimal . $U$ $X$ $u, v, w$ $z = 0$ $v \perp w$ $(x, y)$ $u$ $v$ $w$ $v$ $w$ $u$ $(x,y)$ $1$

Sebagai ilustrasi, inilah himpunan : $T$ masukkan deskripsi gambar di sini

Dan di sini Anda dapat melihat bahwa adalah disk: $U$

masukkan deskripsi gambar di sini

— Sasho Nikolov
sumber

Saya harus mengatakan saya tidak pernah mencoba memvisualisasikan spektrahedron ini sebelumnya, dan saya merasa menarik bahwa itu hanya terlihat seperti versi tetrahedron yang sedikit meningkat yang dibentuk oleh poin-1 peringkat hukum. Bagian yang di sini ditampilkan sebagai lingkaran, adalah kotak di tetrahedron.

— Sasho Nikolov

Hanya ingin tahu tentang bagian kedua dari pertanyaan saya. Katakanlah ada SDP dengan wilayah layak polyhedral. Apa yang Anda pikirkan tentang solvabilitas waktu polinomialnya? Terima kasih atas penjelasannya.

— Pawan Aurora

Pawan, apriori tidak jelas bagi saya bahwa jika SDP adalah polyhedral, itu akan memiliki simpul rasional, dan yang tampaknya diperlukan untuk solvabilitas yang tepat. Tetapi saya kesulitan membayangkan contoh. Mungkin dalam semua contoh polyhedral kendala PSD tidak masalah.

— Sasho Nikolov

Ya, sebenarnya ada contoh sederhana: jika untuk matriks atas Anda menambahkan kendala dan , maka untuk Anda mendapatkan segmen .

X

$X$

z = 0

$z = 0$

x = y

$x = y$

x

$x$

[- 1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2}]

$[-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}]$

— Sasho Nikolov

Btw bukan kriteria sylvester untuk kepastian positif? Saya pikir untuk pSd Anda perlu memeriksa semua anak di bawah umur utama untuk mendapatkan iff.

— Suresh Venkat