Kompleksitas kueri acak dari masalah pohon siam

Sebuah penting 2003 kertas oleh Childs et al.memperkenalkan "pohon siam masalah": masalah mengakui percepatan kuantum eksponensial yang tidak seperti masalah lain yang kita tahu. Dalam masalah ini, kami diberi grafik besar secara eksponensial seperti yang digambarkan di bawah ini, yang terdiri dari dua pohon biner lengkap dengan kedalaman n, yang daunnya saling terhubung dengan siklus acak. Kami telah diberi label titik MASUK. Kami juga dilengkapi dengan oracle yang, diberikan sebagai input label dari setiap titik, memberi tahu kami label tetangganya. Tujuan kami adalah untuk menemukan EXIT vertex (yang dapat dengan mudah dikenali, sebagai satu-satunya derajat-2 vertex dalam grafik selain dari ENTRANCE vertex). Kita dapat mengasumsikan bahwa label adalah string acak yang panjang, sehingga dengan probabilitas yang luar biasa,simpul selain dari simpul MASUK harus diberikan oleh oracle.

Childs et al. menunjukkan bahwa algoritma berjalan kuantum dapat dengan mudah melakukan barrel melalui grafik ini, dan menemukan EXIT vertex setelah langkah poli (n). Sebaliknya, mereka juga menunjukkan bahwa algoritma acak klasik membutuhkan langkah exp (n) untuk menemukan titik EXIT dengan probabilitas tinggi. Mereka menyatakan batas bawahnya sebagai Ω (2 ^{n / 6} ), tetapi saya percaya bahwa pemeriksaan yang lebih dekat terhadap bukti mereka menghasilkan Ω (2 ^{n / 2} ). Secara intuitif, ini karena dengan probabilitas yang luar biasa, jalan acak pada grafik (bahkan jalan yang menghindari diri, dll.) Akan terjebak di wilayah tengah yang luas untuk jumlah waktu yang eksponensial: kapan saja pejalan kaki mulai menuju ke arah EXIT , jumlah tepi yang jauh lebih besar yang menunjuk keluar dari EXIT akan bertindak sebagai "gaya tolak" yang mendorongnya kembali ke tengah.

Cara mereka meresmikan argumen adalah untuk menunjukkan itu, sampai dikunjungi ~ 2 ^{n / 2} simpul, algoritma acak bahkan belum menemukan siklus dalam grafik: subgraf yang diinduksi yang dilihatnya sejauh ini hanyalah sebuah pohon, tanpa memberikan informasi apa pun tentang di mana vertex EXIT mungkin berada.

Saya tertarik untuk menjabarkan kompleksitas kueri acak dari masalah ini secara lebih tepat. Pertanyaan saya adalah ini:

Adakah yang bisa datang dengan algoritma klasik yang menemukan EXIT vertex dalam kurang dari ~ 2 ⁿ langkah --- katakanlah, dalam O (2 ^{n / 2} ), atau O (2 ^{2n / 3} )? Atau, adakah yang bisa memberikan batas bawah lebih baik dari Ω (2 ^{n / 2} )?

(Perhatikan bahwa, dengan paradoks ulang tahun, tidak sulit untuk menemukan siklus dalam grafik setelah langkah-langkah O (2 ^{n / 2} ). Pertanyaannya adalah apakah seseorang dapat menggunakan siklus untuk mendapatkan petunjuk tentang di mana titik EXIT berada.)

Jika ada yang bisa meningkatkan batas bawah masa lalu Ω (2 ^{n / 2} ), maka sepengetahuan saya, ini akan memberikan contoh pertama yang terbukti dari masalah black-box dengan percepatan kuantum eksponensial, yang kompleksitas permintaan acaknya lebih besar dari √N . (Di mana N ~ 2 ⁿ adalah ukuran masalahnya.)

Pembaruan: Saya telah belajar dari Andrew Childs bahwa, dalam catatan ini , Fenner dan Zhang secara eksplisit meningkatkan batas bawah acak untuk pohon siam menjadi Ω (2 ^{n / 3} ). Jika mereka mau menerima probabilitas keberhasilan yang konstan (daripada kecil secara eksponensial), saya yakin mereka dapat meningkatkan ikatan lebih lanjut, menjadi Ω (2 ^{n / 2} ).

$O(n2^{n/2})$ panggilan oracle .

$n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$ dari pintu masuk. Kami akan mencoba mencapai pintu keluar dari simpul ini.

$X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

$n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

$n$$O(n2^{n/2})$

$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$.