Fungsi eksponensial atas angka aljabar

Diberikan bilangan aljabar , saya tertarik untuk menemukan perkiraan hingga presisi yang diberikan, di mana mengacu pada bagian nyata dari bilangan kompleks. $\alpha$ $\Re(e^\alpha)$ $\Re()$

Secara formal, saya ingin menghitung bilangan rasional sehingga $r$

| ℜ (e^{α}) - r | \leq 2^{- n}

$|\Re(e^\alpha)-r|\leq 2^{-n}$

diberikan oleh polinomial minimal (standar). $\alpha$

Seberapa cepat kita bisa menyelesaikan masalah ini?

Ketika diberikan sebagai titik mengambang, referensi berikut $\alpha$

R. Brent. Evaluasi multi fungsi presisi cepat yang cepat. JACM, 1976.

sepertinya memberikan jawaban.

Namun, saya tidak yakin dapat digunakan untuk nomor aljabar . $\alpha$

cc.complexity-theory na.numerical-analysis computing-over-reals

— pengguna22166
sumber

Baik exp dan log dapat diperkirakan hingga

bit presisi dalam waktu

. Karena perkiraan akar numerik tidak lebih cepat secara signifikan (tentunya membutuhkan waktu setidaknya

), pertanyaan Anda pada dasarnya setara dengan kompleksitas perkiraan

. Untuk polinom tetap, yang terakhir dapat dilakukan dalam waktu

n

$n$

O (M (n) \log n)

$O(M(n)\log n)$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

α

$\alpha$

O (M (n))

$O(M(n))$ menggunakan metode Newton, tapi saya tidak yakin apa yang sebenarnya terjadi ketika polinomial (dan interval pembatas!) adalah bagian dari input.

— Emil Jeřábek

(Kompleksitas waktu asimptotik dari iterasi Newton kurang lebih waktu yang dibutuhkan untuk mengevaluasi polinomial pada input yang diberikan ke

bit presisi).

n

$n$

— Emil Jeřábek

Oh, tapi semua yang saya tulis berlaku ketika Anda ingin kesalahan relatif , yaitu,

adalah output dalam representasi eksponen-mantissa, dan kesalahan terikat berlaku untuk mantissa. Cara pertanyaan ditulis, Anda tidak bisa mendapatkan ikatan yang lebih baik daripada trioal

, karena ukuran output eksponensial dalam ukuran input yang sudah ada dalam case

adalah integer, dan

r

$r$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

α

$\alpha$

ϵ = 1

$\epsilon=1$

— Emil Jeřábek

Untuk menghindari masalah yang Emil merujuk pada kompleksitas fungsi nyata dipelajari ketika domain adalah seperangkat kompak seperti interval unit. Jika

Anda bisa besar arbitrer maka exp tidak dapat dihitung dalam waktu polinomial.

α

$\alpha$

— Kaveh

PS: algoritma ini umumnya bekerja untuk semua bilangan real yang dapat dihitung termasuk bilangan aljabar, kita hanya perlu memberikan perkiraan yang bagus untuk input.

— Kaveh

Seperti yang ditulis, masalahnya membutuhkan waktu , di mana adalah panjang input (Anda sayangnya digunakan untuk sesuatu yang lain). Memang, jika misalnya adalah bilangan bulat positif (diberikan oleh polinomial minimal ) dan , ukuran output eksponensial dalam ukuran input. Batas ini tentu saja optimal, karena ada sejumlah cara bagaimana menghitung hasilnya dalam waktu . $2^{\Omega(m)}$ $m$ $n$ $\alpha$ $x-\alpha$ $n=0$ $2^{O(m)}$

Biarkan saya mencoba merumuskan kembali pertanyaan itu sehingga lebih masuk akal. Masalah utama adalah bagaimana memilih representasi input dan output, serta gagasan aproksimasi, sehingga eksponensial berpeluang untuk diperhitungkan dalam waktu polinomial.

Salah satu cara disebutkan oleh Kaveh dalam komentar: batasi domain hingga interval terbatas tetap. Meskipun ini berfungsi, itu tidak perlu membatasi; khususnya, tidak ada cara yang baik bagaimana mengubah angka aljabar menjadi angka yang dibatasi sehingga eksponensial mereka ada hubungannya satu sama lain.

Pendekatan yang lebih fleksibel adalah merepresentasikan input sebagai angka titik tetap , dan output sebagai angka titik mengambang . Untuk lebih spesifik, representasi titik tetap adalah string menunjukkan , di mana , dan representasi titik mengambang adalah

\pm a_{r} a_{r - 1} \dots a_{0} . a_{- 1} \dots a_{- s}

$\pm a_ra_{r-1}\dots a_0.a_{-1}\dots a_{-s}$

\pm \sum_{j} a_{j} 2^{j}

$\pm\sum_ja_j2^j$

a_{j} \in {0, 1}

$a_j\in\{0,1\}$

dengan interpretasi yang sama, di mana

adalah bilangan bulat biner, dan

. (Sebagai pengecualian, kami juga memungkinkan

untuk mewakili dirinya sendiri.) Sebuah perkiraan nyata

untuk

bitmutlakakurasi adalah nyata

sehingga

, dan perkiraan ke

bitakurasirelatifadalah

\pm 2^{e} \times a_{0} . a_{- 1} \dots a_{- s}

$\pm2^e\times a_0.a_{-1}\dots a_{-s}$

e

$e$

a_{0} = 1

$a_0=1$

0

$0$

x

$x$

m

$m$

x^{'}

$x'$

| x - x^{'} | < 2^{- m}

$|x-x'|<2^{-m}$

m

$m$

sedemikian rupa

. Kami akan menggunakan akurasi absolut untuk perkiraan titik tetap, dan akurasi relatif untuk perkiraan titik mengambang. Oleh karena itu dalam kedua kasus, kami juga dapat mengasumsikan

(hingga kehilangan satu bit akurasi).

x^{'}

$x'$

| 1 - x^{'} / x | < 2^{- m}

$|1-x'/x|<2^{-m}$

s \leq m

$s\le m$

Representasi titik tetap dan titik mengambang dari rasional Gaussian diad, dan perkiraan bilangan kompleks, didefinisikan dengan cara yang sama, menggunakan sepasang real. Di mana-mana di bawah ini, menunjukkan ukuran total input. $n$

$x$ $m$ $e^x$ $m$ $x$ $m$ $\log x$ $m$

Selama kita mematuhi batas waktu menjalankan memenuhi beberapa kondisi keteraturan ringan, dan mengabaikan faktor multiplikasi konstan, kita memiliki:

$a^2$ $\exp(a2^{-t})=a2^{-t}+a^22^{-2t-1}+O(a^32^{-3t})$ $t$ $a$
Eksponensial dan logaritma memiliki kompleksitas yang sama. Alasannya adalah bahwa kita dapat menghitung kebalikan dari fungsi yang bagus dengan iterasi Newton (atau metode yang lebih canggih seperti dalam Brent ) menggunakan evaluasi fungsi itu sendiri. Iterasi biasanya melibatkan multiplikasi atau divisi, tetapi kita dapat membelinya pada poin sebelumnya.

$\alpha$ $f$ $c,\rho$ $|c-\alpha|<\rho$ $\alpha$ $f$

$\alpha$ $m$ $\alpha$ $m$

$\DeclareMathOperator\re{Re}$ $\re e^\alpha$ $\alpha$ $m$ $e^\alpha$ $m$

Fakta: Hingga faktor linier, kompleksitas eksponensial bilangan aljabar sama dengan kompleksitas perkiraan bilangan aljabar ditambah kompleksitas eksponensial kompleks.

$\alpha$ $m+O(1)$ $\alpha$ $e^\alpha$ $m$

$e^\alpha$

Ini membagi pertanyaan menjadi dua masalah yang tidak saling berkaitan. Batas atas yang paling dikenal pada eksponensial adalah

$n$ $M(n)$ $O(M(n)\log n)$

$\Omega(M(n))$ $M(n)$ $n\log n\,2^{O(\log^*n)}$

$\tilde O(f(n))$ $O(f(n)\mathrm{polylog}(f(n)))$

Untuk perkiraan akar sebenarnya , Pan dan Tsigaridas memberikan:

$\tilde O(d^2\tau+dm)$ $d=\deg(f)$ $\tau$ $f$

$\tilde O(d^3+d^2m)$ $f$ $1+1/\log d$

$e^\alpha$ $\re e^\alpha$ $\re e^\alpha\ll\operatorname{Im}e^\alpha$ $x+iy$ $e^\alpha$ $m$ $y2^{-m}$ $x$ $x2^{-m}$

Untuk eksponensial rasional yang tepat, kita dapat menghindari masalah:

$\alpha=x+iy$ $m$ $x,y$ $\re e^\alpha$ $m$ $O(M(n)\log n)$

$\re e^\alpha=e^x\cos y$ $e^x$ $\cos y$ $2^{-m}$ $k$ $2y/\pi$ $\cos y$ $\pm\cos y'$ $\pm\sin y'$ $y'=y-k\frac\pi2$ $|y'|\le\pi/4$ $\sin y'$ $y'$ $\sin y'$ $m$ $m+\log|{y'}^{-1}|$ $y=u/v$ $u,v$ $y'$ $\pi$

| π - \frac{2 u}{k v} | \leq \frac{2 | y^{'} |}{k} .

$\left|\pi-\frac{2u}{kv}\right|\le\frac{2|y'|}k.$

π

$\pi$

ν

$\nu$

7.6063

$7{.}6063$

| y^{'} | \geq \frac{1}{2 k^{ν - 1} v^{ν}},

$|y'|\ge\frac1{2k^{\nu-1}v^\nu},$

\log | {y^{'}}^{- 1} |

$\log|{y'}^{-1}|$

y^{'}

$y'$

\sin y^{'}

$\sin y'$

y^{'}

$y'$

\sin y^{'} \approx y^{'}

$\sin y'\approx y'$

$\alpha$ $\log|y'|$ $\deg(f)$

— Emil Jeřábek
sumber

k

$k$

0 \leq b / k < 1

$0 \leq b/k < 1$

r = (b / k)^{e}

$r = (b/k)^e$

(r, k, e)

$(r,k,e)$

k, b, e

$k,b,e$

(r, k, e)

$(r,k,e)$

2^{a}

$2^a$

a

$a$

e^{a}

$e^a$

⌊ a / \log 2 ⌋

$\lfloor a/\log 2\rfloor$

\exp (a - ⌊ a / \log 2 ⌋ \log 2)

$\exp(a-\lfloor a/\log 2\rfloor\log 2)$

b^{e}

$b^e$

r

$r$

e

$e$

n

$n$

b / k \approx 1 / 2

$b/k\approx1/2$

r \approx 2^{- 2^{n}}

$r\approx 2^{-2^n}$

k^{e} r

$k^er$

k

$k$

k

$k$ dapat bervariasi, yang membuatnya sulit untuk melakukan perhitungan pada representasi tersebut. Apa manfaatnya?

— Emil Jeřábek