Klasifikasi gerbang reversibel

Kisi Post , dijelaskan oleh Emil Post pada tahun 1941, pada dasarnya adalah diagram inklusi lengkap dari set fungsi Boolean yang ditutup di bawah komposisi: misalnya, fungsi monoton, fungsi linier di atas GF (2), dan semua fungsi. (Post tidak berasumsi bahwa konstanta 0 dan 1 tersedia gratis, yang membuat kisi-nya jauh lebih rumit daripada yang seharusnya.)

Pertanyaan saya adalah apakah sesuatu yang analog pernah diterbitkan untuk gerbang reversibel klasik , seperti gerbang Toffoli dan Fredkin. Yaitu, kelas transformasi reversibel mana pada {0,1} ^{n yang} dapat dihasilkan oleh beberapa kumpulan gerbang reversibel? Berikut aturannya: Anda diperbolehkan jumlah bit ancilla yang tidak terbatas, beberapa preset ke 0 dan yang lainnya preset ke 1, selama semua bit ancilla dikembalikan ke pengaturan awal setelah transformasi {0,1} ^{n Anda} adalah jadi. Juga, SWAP 2 bit (yaitu, penandaan ulang indeks mereka) selalu tersedia secara gratis. Di bawah peraturan ini, murid saya Luke Schaeffer dan saya dapat mengidentifikasi sepuluh rangkaian transformasi berikut:

Set kosong
Set yang dihasilkan oleh gerbang NOT
Himpunan yang dihasilkan oleh NOTNOT (yaitu, BUKAN gerbang diterapkan ke 2 bit)
Set yang dihasilkan oleh CNOT (yaitu gerbang Controlled-NOT)
Set yang dihasilkan oleh CNOTNOT (yaitu, flip bit ke-2 dan ke-3 jika bit ke-1 adalah 1)
Set yang dihasilkan oleh CNOTNOT dan NOT
Set yang dihasilkan oleh gerbang Fredkin (yaitu, Controlled-SWAP)
Set yang dihasilkan oleh Fredkin dan CNOTNOT
Set yang dihasilkan oleh Fredkin, CNOTNOT, dan NOT
Himpunan semua transformasi

Kami ingin mengidentifikasi keluarga yang tersisa, dan kemudian membuktikan bahwa klasifikasi selesai --- tetapi sebelum kita menghabiskan banyak waktu untuk itu, kami ingin tahu apakah ada yang pernah melakukannya sebelumnya.

circuit-families

— Scott Aaronson
sumber

Apakah Anda kehilangan NOTCSWAP dan (CSWAP, NOTCSWAP) di mana NOTCSWAP seperti swap-terkendali tetapi bertukar argumen x, y ketika argumen c adalah 0 (alih-alih bertukar ketika c adalah 1 seperti di CSWAP)? Anda membutuhkan keduanya untuk mendapatkan semua permutasi yang menjaga berat Hamming: CSWAP hanya mengizinkan vektor dari bobot Hamming ≥2 sementara NOTCSWAP hanya mengizinkan vektor dari bobot Hamming ≤ n-2.

— David Eppstein

Juga (kehabisan ruang dalam komentar sebelumnya) dengan meminta sejumlah bit kontrol yang lebih besar menjadi nol atau bukan nol, Anda bisa mendapatkan himpunan bagian yang lebih terbatas dari permutasi pemelihara berat Hamming, hanya mengubah vektor dengan berat Hamming setidaknya atau paling banyak arbitrer terikat. Jadi ini memberikan banyak kelas transformasi.

— David Eppstein

Terima kasih, David - tetapi saya mengasumsikan 0 dan 1 ancilla tersedia secara gratis, tepatnya untuk menyingkirkan "kesesatan." Apakah tidak melakukannya?

— Scott Aaronson

Biarkan

C_{n}

$C_n$ menjadi kelas semua permutasi melestarikan Hamming modulo berat

n

$n$ . Kemudian

C_{n}

$C_n$ memenuhi kebutuhan Anda, dan

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$ iff

m | n

$m|n$ : non-inklusi dari

C_{n}

$C_n$ tempat lain disaksikan oleh fungsi

n

$n$ -ary

f_{n}

$f_n$ st

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$ ,

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$ , dan

f (x) = x

$f(x)=x$ untuk

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$ . Secara khusus, semua kelas yang tak terhingga ini berbeda.

— Emil Jeřábek mendukung Monica

Lihat makalah eccc.hpi-web.de/report/2015/066 di mana ide-ide ini telah dipoles, dan yang juga merujuk jawaban Emil di bawah.

— András Salamon

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ Ini adalah presentasi dari setengah dualitas untuk transformasi reversibel, analog dengan dualitas klon-coclone standar (seperti di sini ). Itu tidak menjawab pertanyaan, tetapi itu menunjukkan bahwa semua kelas tertutup dari fungsi semacam itu ditentukan oleh pelestarian sifat dari suatu bentuk tertentu.

Berbeda dengan kasus standar, komplikasi utama adalah permutasi dapat dihitung (mereka mempertahankan kardinalitas), maka invarian mereka perlu melibatkan sedikit aritmatika untuk menjelaskan hal ini.

Mari saya mulai dengan beberapa terminologi sementara. Perbaiki dasar himpunan berhingga . (Dalam kasus klasik, Scott bertanya tentang, . Bagian dari diskusi juga bekerja untuk tak terbatas , tetapi bukan karakterisasi utama.) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

Serangkaian permutasi (atau: transformasi yang dapat dibalikkan) adalah subset , di mana menunjukkan kelompok permutasi dari . Sebuah klon permutasi adalah seperangkat permutasi sehingga $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

Setiap ditutup di bawah komposisi. $\cC\cap\sym(A^n)$

Untuk setiap , permutasi ditentukan oleh ada di . $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

Jika dan , permutasi didefinisikan oleh adalah di . $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

Karena adalah terbatas, 1 berarti adalah subkelompok dari . OP hanya menuntut 2 untuk transposisi , tetapi versi di sini jelas setara. Kondisi 3 setara dengan apa yang saya sebut pengenalan variabel dummy dalam komentar di atas. $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

Sebuah klon induk adalah tiruan permutasi dengan tunjangan ancillas:

Misalkan , , dan sedemikian rupa sehingga untuk semua . Kemudian menyiratkan . $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

Kami bertujuan untuk mengkarakterisasi klon permutasi dan kloning master oleh invarian tertentu. Biarkan saya memotivasi yang terakhir dengan beberapa contoh di : $A=\{0,1\}$

Kloning master permutasi menjaga berat Hamming (dihasilkan oleh gerbang Fredkin). Jika menunjukkan dimasukkannya dalam , permutasi ini ditandai dengan properti mana , dan saya menulis . $w$ $\{0,1\}$ $\N$
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
Kloning master permutasi yang melindungi modul Hamming weight tetap , disebutkan dalam komentar. Ini dicirikan oleh rumus yang sama seperti di atas, jika kita menginterpretasikan sebagai fungsi dari ke grup siklik , dan menghitung jumlah di sana. $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
Klon master permutasi affine , , (dihasilkan oleh CNOT). Satu memeriksa dengan mudah (atau tahu dari kasus Post) bahwa fungsi output-tunggal adalah affine jika mempertahankan hubungan . Jadi, jika kita mendefinisikan oleh sebuah ada di klon iff jadi kita berhadapan dengan jumlah dalam monoid $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$ .

Secara umum, fungsi bobot adalah pemetaan , di mana , dan adalah monoid komutatif. Sebuah fungsi utama berat badan adalah salah satu yang memetakan semua diagonal -tuples , , elemen dibalik dari . Biarkan menunjukkan kelas dari semua fungsi bobot, dan fungsi bobot utama. $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

Jika , dan adalah fungsi bobot, kita mengatakan bahwa adalah invarian dari , atau (meminjam terminologi tanpa berpikir) bahwa adalah polimorfisme dari , dan tulis , jika kondisi berikut berlaku untuk semua : $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Jika , maka $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

Di sini, , , dan demikian pula untuk . Dengan kata lain, if (atau lebih tepatnya ekstensi paralelnya ke ) mempertahankan jumlah bobot dari argumennya. $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

Relasi antara dan (atau ) menginduksi koneksi Galois antara set permutasi , dan kelas fungsi bobot , dengan cara yang biasa: dan dengan demikian isomorfisma ganda antara kisi lengkap set permutasi tertutup, dan kelas tertutup dari fungsi bobot (master), masing-masing. Untuk melihat bahwa kami berada di jalur yang benar, kami mengamati bahwa set permutasi tertutup memang klon: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

Lemma: Jika , maka adalah klon permutasi. Jika , maka adalah klon master. $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

Bukti: Pernyataan pertama kurang lebih jelas. Untuk yang kedua, misalkan , seperti dalam kondisi 4 sehingga , dan misalkan sama seperti dalam definisi . Masukkan , , dan . Kemudian menyiratkan Namun, tidak dapat dibalik dalam karena adalah fungsi bobot utama, karenanya $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

Sebelum kita melangkah lebih jauh, kita perlu memperbaiki satu masalah: monoids bisa sangat besar , oleh karena itu invarian dari bentuk ini dapat dengan tepat dicurigai sebagai omong kosong abstrak yang tidak berguna.

Pertama, diberi fungsi bobot , kita dapat mengasumsikan bahwa dihasilkan oleh (dan dengan inversi terbalik dari gambar elemen diagonal dalam master case), sebagai elemen lain dari tidak memasukkan gambar. Secara khusus, adalah finitely dihasilkan . Kedua, dengan hasil umum dari aljabar universal, kita dapat menulis sebagai produk subdirektori mana setiap secara tak langsung direduksi, dan adalah hasil bagi dari melalui proyeksi produk ke- $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; khususnya, masih monoid komutatif yang dihasilkan secara halus. Dengan hasil dari Mal'cev, fg monoid komutatif yang dapat direduksi secara tidak langsung (atau semi-grup) sebenarnya terbatas . Pemetaan lagi-lagi merupakan fungsi bobot, master jika adalah, dan mudah untuk melihat bahwa Dengan demikian, kita dapat tanpa kehilangan generalitas membatasi perhatian pada fungsi bobot , di mana adalah terbatas dan secara tak langsung dapat direduksi. Biarkan menjadi kelas fungsi bobot tersebut, dan masukkan

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ Contoh-contoh dari monoida komutatif terhingga yang dapat direduksi secara tidak terbatas adalah kelompok siklik , dan monoida penambahan terpotong . Kasus umum lebih rumit, namun orang dapat mengatakan banyak tentang struktur mereka: orang dapat menulis masing-masing dengan cara tertentu sebagai penyatuan yang terpisah dari , dan grup nilsemig terbatas dengan beberapa properti. Lihat Grillet untuk detailnya.

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

Sekarang kami siap untuk poin utama dari posting ini:

Teorema: Set permutasi tertutup dalam koneksi Galois ke fungsi bobot (master) terhingga yang tidak dapat direduksi secara tepat adalah klon permutasi persis (klon master, resp.).

Yaitu, jika , maka klon permutasi yang dihasilkan oleh adalah , dan klon master yang dihasilkan oleh adalah . $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

Bukti: Mengingat diskusi sebelumnya, cukup untuk menunjukkan bahwa jika adalah kloning permutasi, dan , ada invarian. dari sedemikian rupa sehingga , dan seseorang dapat menganggap sebagai fungsi bobot master jika adalah klon master. $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

Letakkan , dan biarkan menjadi monoid bebas yang dihasilkan oleh (yaitu, kata-kata terbatas di atas alfabet ). Kami mendefinisikan relasi pada oleh (Kata dengan panjang yang tidak sama tidak pernah dihubungkan oleh .) Karena setiap adalah grup, adalah hubungan ekivalensi (pada kenyataannya, pembatasan kata-kata panjang hanyalah hubungan ekivalensi orbit dari bekerja dengan cara yang jelas $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ ). Selain itu, adalah kongruensi monoid: jika dan menyaksikan bahwa dan , masing-masing, kemudian saksi .

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Dengan demikian, kita dapat membentuk hasil bagi monoid . Pertukaran permutasi menyaksikan bahwa untuk setiap ; yaitu, generator bepergian, maka adalah komutatif. Tentukan fungsi bobot sebagai inklusi alami dalam disusun dengan peta hasil bagi. $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

Mudah untuk melihat bahwa : memang, jika , dan , lalu dengan definisi (menggunakan notasi seperti dalam definisi ). Di sisi lain, anggaplah . Biarkan menjadi enumerasi , , dan biarkan untuk lagi seperti dalam definisi . Kemudian $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ karenanya dengan definisi dari , terdapat sedemikian sehingga untuk setiap . Namun, karena exhaust , ini berarti , yaitu, , sebuah kontradiksi. Ini melengkapi bukti untuk klon permutasi.

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

Bahkan jika adalah tiruan induk, kebutuhan tidak menjadi fungsi utama berat, pada kenyataannya, elemen-elemen diagonal bahkan tidak tentu cancellative di , maka kita harus memperbaikinya. Untuk setiap , biarkan , dan menentukan relasi ekivalen baru di oleh Menggunakan fakta bahwa elemen bepergian modulo , mudah untuk menunjukkan bahwa lagi kongruensi, maka kita dapat membentuk monoid $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ , dan fungsi bobot . Karena extends , komutatif, dan hasil bagi dari ; khususnya, . Di sisi lain, jika , maka argumen yang sama seperti di atas bersama dengan definisi akan memberikan , dan sehingga untuk semua , dengan demikian sebagai adalah klon master, sebuah kontradiksi.

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

Definisi memastikan bahwa untuk semua , dan . Oleh karena itu elemen adalah pembatalan dalam . Ini adalah fakta yang mudah diketahui bahwa monoid komutatif dapat disematkan pada yang lain di mana semua elemen pembatalan menjadi tidak dapat dibalik. Komposisi penyisipan semacam itu dengan kemudian merupakan fungsi bobot master , dan , maka . QED $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

EDIT: Generalisasi kloning-coclone dualitas di atas sekarang ditulis dalam

[1] E. Jeřábek, koneksi Galois untuk operasi multi-output , pracetak, 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO] .

— Emil Jeřábek mendukung Monica
sumber

Terima kasih banyak atas usaha yang dilakukan untuk menulis ini! Saya perlu waktu untuk mencernanya, karena bahasa klon dan aljabar universal cukup abstrak bagi saya (memang, itu adalah batu sandungan ketika saya mencoba membaca literatur ini di masa lalu). Tetapi ketika kita menghitung klon secara konkret, penting untuk mengetahui bahwa mereka semua akan dikarakterisasi dengan invarian, karena memang semua contoh yang kita tahu adalah. (Kebetulan, untuk melihat, katakanlah, Fredkin + BUKAN dicirikan oleh invarian, saya kira kita melihat pasangan input, dan mengatakan bahwa setiap transformasi mempertahankan jumlah paritas mereka?)

— Scott Aaronson

Sementara itu, saya memiliki kemajuan untuk melaporkan pertanyaan konkret. Saya dapat mengklasifikasikan semua poin dalam kisi di atas gerbang Fredkin: satu-satunya kemungkinan adalah transformasi yang mempertahankan mod berat Hamming k untuk sembarang k, transformasi yang baik mempertahankan atau membalik bobot Hamming mod 2 (dihasilkan oleh Fredkin + BUKAN), dan semua transformasi. Saya juga dapat mengkarakterisasi semua poin dalam kisi di atas CNOTNOT: mereka hanya yang saya cantumkan di OP (CNOTNOT + BUKAN, CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + BUKAN, semuanya).

— Scott Aaronson

Ya, untuk Fredkin + BUKAN, kita dapat mengambil , . Terima kasih atas pembaruannya, ini kedengarannya sangat bagus.

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— Emil Jeřábek mendukung Monica

Harapannya tentu saja bahwa para invarian dalam praktiknya jauh lebih kecil daripada apa yang tidak terbukti. (Dalam kasus Post, saya percaya yang terburuk yang dapat terjadi adalah ). Koneksi Galois tidak secara langsung membantu dengan klasifikasi konkret, ini lebih merupakan alat metodologis. Pertama, mungkin lebih mudah untuk menemukan kelas yang sebelumnya tidak dikenal jika ada yang tahu properti apa yang harus dicari. Kedua, langkah khas dalam bukti klasifikasi Post terlihat sebagai berikut. Kami sampai di kelas di suatu tempat di tengah-tengah kisi, dan kami ingin menggambarkan kelas-kelas di atasnya. ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— Emil Jeřábek mendukung Monica

... ditentukan oleh relasinya yang tidak . Maka setiap ekstensi tepat harus mengandung yang tidak mempertahankan beberapa , dan biasanya seseorang dapat memanipulasi dengan komposisi dll menjadi fungsi tertentu dalam sejumlah kecil variabel. Dengan cara ini, seseorang mendapat daftar sedemikian sehingga setiap kelas di atas berisi kelas yang dihasilkan oleh untuk beberapa , dan seseorang dapat melanjutkan ke bagian kisi di atas yang . Ini tidak memerlukan korespondensi umum, tetapi mengetahui invarian dari kelas tertentu yang ditemui.

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— Emil Jeřábek mendukung Monica