Grafik isomorfisme dengan hubungan ekivalensi pada set simpul

Grafik berwarna dapat digambarkan sebagai tuple mana adalah grafik dan adalah pewarnaannya. Dua grafik berwarna dan dikatakan isomorfis jika ada isomorfisma sedemikian rupa sehingga pewarnaannya dipatuhi, yaitu untuk semua .$(G,c)$$G$$c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$$(G,c)$$(H,d)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$c(v) = d(\pi(v))$$v \in V(G)$

Gagasan ini menangkap isomorfisme dari grafik berwarna dalam arti yang sangat ketat. Pertimbangkan kasus di mana Anda memiliki dua peta politik dari wilayah yang sama tetapi mereka menggunakan set warna yang berbeda. Jika seseorang bertanya apakah mereka diwarnai dengan cara yang sama, orang akan menganggap ini berarti apakah ada pemetaan bijective antara dua set warna sedemikian rupa sehingga warna kedua peta bertepatan melalui pemetaan ini. Gagasan ini dapat diformalkan dengan menggambarkan grafik berwarna sebagai tuple di mana adalah relasi ekivalen pada himpunan titik dari . Kita kemudian dapat mengatakan dua grafik seperti itu dan isomorfis jika terdapat isomorfisme sedemikian rupa sehingga untuk semua pasangan$(G,\sim)$$\sim$$G$$(G,\sim_1)$$(H,\sim_2)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$v_1,v_2 \in V(G)$ menyatakan bahwa

Pertanyaan saya adalah apakah konsep ini telah dipelajari sebelumnya dan menemukan bentuk kanonik dll. Dan jika demikian dengan nama apa ia dikenal?

Masalah yang Anda jelaskan telah dipertimbangkan (saya ingat mendiskusikannya di sekolah pascasarjana, dan pada saat itu sudah dibahas jauh sebelum itu), meskipun saya tidak dapat menunjuk ke referensi tertentu dalam literatur. Mungkin karena ini secara linear setara dengan isomorfisme graf tidak berwarna, seperti berikut (ini berlaku bahkan untuk bentuk kanonik). Sebut masalah yang Anda gambarkan EQ-GI.

GI hanyalah kasus khusus dari EQ-GI di mana setiap grafik hanya memiliki satu kelas ekivalensi yang terdiri dari semua simpul.

Di arah lain, untuk mengurangi EQ-GI ke GI, misalkan menjadi grafik dengan hubungan ekivalensi dengan simpul, tepi , dan kelas ekuivalensi . Buat grafik yang set simpulnya terdiri dari simpul , bersama dengan simpul baru , satu untuk setiap kelas ekuivalensi dalam , serta simpul baru . Hubungkan di jalur , hubungkan setiap ke , dan untuk setiap titik din m c G ′ G v 1 , … , v c = G n + c + 1 w 0 , … , w n + c w i w 0 - w 1 - w 2 - ⋯ - w n + c v i w 0 G v i G $(G, \sim_G)$$n$$m$$c$$G'$$G$$v_1, \dotsc, v_c$$=_G$$n+c+1$$w_0, \dotsc, w_{n+c}$$w_i$$w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$$v_i$$w_0$$G$ , hubungkan ke vertex kelas kesetaraan sesuai . Maka memiliki paling banyak simpul dan dapat dibangun pada dasarnya terikat waktu yang sama. (Ini juga memiliki paling banyak tepi - yang merupakan untuk grafik yang terhubung - tapi itu agak kurang relevan karena sebagian besar algoritma GI memiliki waktu berjalan yang pada dasarnya hanya bergantung pada .)$v_i$$G'$m + n + c + ( n + c + 1 ) ≤ m + 4 n + 1 ≤ O ( m + n ) O ( m ) $n + 2c + n +1 \leq O(n)$$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$$O(m)$$n$

Pembaruan : Karena ada beberapa kebingungan dalam komentar, saya menambahkan di sini sketsa kebenaran dari argumen di atas. Diberikan dan , biarkan dan menjadi grafik yang dibuat seperti di atas; misalkan menunjukkan vertex dari atas di , dan yang ada di , dan juga untuk dan . Jika ada isomorfisme , itu harus mengirim ke untuk semua( G 2 , ∼ 2 ) G ′ 1 G ′ 2 v i , 1 v i G ′ 1 v i , 2 G ′ 2 w i , 1 w i , 2 G ′ 1 ≅ G ′ 2 w i , 1 w i , 2 i $(G_1, \sim_1)$$(G_2, \sim_2)$$G_1'$$G_2'$$v_{i,1}$$v_i$$G_1'$$v_{i,2}$$G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$G_1' \cong G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$i$, karena di setiap grafik adalah simpul unik yang merupakan titik akhir dari setiap lintasan panjang setidaknya . Secara khusus, peta ke . Karena tetangga yang bukan persis , isomorfisma harus memetakan set ke set (dan khususnya dan harus memiliki nomor yang sama, , dari kelas ekivalensi). Perhatikan bahwa isomorfisma tidak perlu mengirim ke untuk semua n+c+1 w 0 , 1 w 0 , 2 w 0 w 1 v i { v 1 , 1 ,…, v c , 1 }{ v 1 , 2 ,…, v c , 2 } ∼ 1 ~ 2 c v i , 1 v i , $w_{n+c}$$n+c+1$$w_{0,1}$$w_{0,2}$$w_0$$w_1$$v_i$$\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$$\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$$\sim_1$$\sim_2$$c$$v_{i,1}$$v_{i,2}$v G ′ 1 G ′ 2 ( G 1 , ∼ 1 ) ≅ ( G 2 , ∼ 2 ) G ′ 1 ≅ G ′ $i$ , tetapi diizinkan untuk mengubah indeks selama kelas kesetaraan yang sesuai dapat dipetakan satu sama lain. Sebaliknya, berdasarkan uraian tentang bagaimana isomorfisma antara dan dapat terlihat, mudah untuk melihat bahwa jika maka ini memberikan isomorfisma .$v$$G_1'$$G_2'$$(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$$G_1' \cong G_2'$

Saya membaca komentar terakhir Anda dalam jawaban Yosua yang benar; jika Anda perlu mengubah EQ-GI menjadi GI berwarna (yaitu Anda berada dalam masalah dengan warna yang ditetapkan untuk kelas-kelas kesetaraan) Anda dapat menggunakan reduksi berikut:

Misalkan grafik awal adalah , dan ada kelas ekuivalensi ; maka Anda dapat menambahkan ke setiap grafik "permutator", yaitu grafik lengkap pada simpul ( , ) dan gunakan warna .$G_1 = (V_1, E_1)$$G_2 = (V_2, E_2)$$q$$|V_1|+1=|V_2|+1$$K'_{|V_1|+1}$$K''_{|V_2|+1}$$q+1$$c_1,...,c_q,c_{q+1}$

Dalam dan , node dibedakan dan diwarnai dengan node yang tersisa diwarnai dengan . Node diwarnai dengan warna dan node dalam kelas ekivalensi yang sama ditautkan dengan warna yang sesuai dalam ; node diwarnai dengan warna dan node dalam kelas ekivalensi yang sama dihubungkan ke warna yang sesuai dalam .$K'$$K''$$q$$c_1,...,c_q$$c_{q+1}$$G_1$$c_{q+1}$$K'$$G_2$$q+1$$K''$

Perhatikan juga bahwa Anda dapat menjatuhkan warna dan mendapatkan instance GI yang setara :-)

Pengurangan menanggapi contoh dalam komentar Anda