Cabang yang berorientasi aljabar ilmu komputer teoretis


33

Saya memiliki basis aljabar yang sangat kuat, yaitu

  • aljabar komutatif,
  • aljabar homologis,
  • teori medan,
  • teori kategori,

dan saya sedang belajar geometri aljabar.

Saya seorang jurusan matematika dengan kecenderungan untuk beralih ke ilmu komputer teoretis. Mempertahankan bidang yang disebutkan di atas dalam pikiran, bidang mana yang akan menjadi bidang yang paling tepat dalam ilmu komputer teoritis untuk beralih? Artinya, di bidang mana teori dan kematangan matematika yang diperoleh dengan mengejar bidang di atas dapat digunakan untuk keuntungan seseorang?


1
Apakah studi bidang dianggap sebagai bagian dari aljabar? Ada beberapa di math.se yang berpikir tidak.
alancalvitti

1
Ini ditawarkan di banyak institut di sini sebagai kursus aljabar tingkat kedua dan banyak buku terkenal tentang aljabar seperti dummit dan aljabar abstrak foote berisi materi penting tentang teori Filed ...
spaceman_spiff

Jawaban:



24

Geometri aljabar banyak digunakan dalam teori kompleksitas aljabar dan khususnya dalam teori kompleksitas geometri. Teori representasi juga penting untuk yang terakhir, tetapi itu bahkan lebih berguna ketika dikombinasikan dengan geometri aljabar dan aljabar homologis.


15

Pengetahuan Anda tentang teori lapangan akan berguna dalam kriptografi, sementara teori kategori banyak digunakan dalam penelitian tentang bahasa pemrograman dan sistem pengetikan, yang keduanya terkait erat dengan dasar matematika.


11

Teori lapangan dan geometri aljabar akan berguna dalam topik yang berkaitan dengan kode koreksi kesalahan, baik dalam pengaturan klasik maupun dalam mempelajari kode yang dapat didekode secara lokal dan daftar decoding. Saya percaya ini kembali bekerja pada kode Reed-Solomon dan Reed-Muller, yang kemudian digeneralisasikan ke kode geometri aljabar. Lihat misalnya, bab buku ini tentang pandangan teori pengkodean klasik dari kode geometri aljabar, survei singkat tentang kode yang dapat didekodekan secara lokal, dan makalah terkenal ini tentang daftar-decoding Reed-Solomon dan, lebih umum, kode geometri aljabar-geometri.



6

Pernahkah Anda berpikir tentang melihat aljabar komputer? Aksioma adalah sistem aljabar komputer tempat sistem tipe dimodelkan setelah Kategori Teori (atau Aljabar Universal, tergantung pada tampilan Anda). Ada dua turunan lebih lanjut dari Aksioma FriCAS dan OpenAxiom .

Jika Anda tertarik pada Kategori Teori, maka sistem jenis mungkin menjadi satu hal untuk dilihat.

Dalam Aksioma, setiap "item" (mis. "1", "5 * x ** 2 + 1") adalah elemen dari suatu Domain. "Domain" adalah objek Aksioma yang dinyatakan sebagai anggota dari Kategori tertentu (misalnya Integer, Polinomial (Integer). Kategori Aksioma adalah objek Aksioma yang dinyatakan sebagai anggota simbol "Kategori" yang dibedakan (misalnya Ring, Polynomial (PUTARAN)).

Ada kisi pewarisan untuk pewarisan berganda di antara Kategori. mis. Kategori Monad mewarisi dari SetCategory, Monoid dari Monad, Grup dari Monoid, dll., dll.

Ada juga polimorfisme tingkat tinggi, sedikit seperti Generics in Java.

Beberapa aksi dalam Aksioma dapat dilihat sebagai Functors, tapi itu akan lebih banyak untuk masuk ke sini!

Jika Anda hanya ingin menggunakan Aksioma tanpa khawatir tentang Kategori Teori, sebagai pengguna akhir biasa, maka sistem perhitungan simbolis adalah bagian yang tepat dari perangkat lunak untuk melihat aljabar individu.


5

Berikut ini banyak jawaban yang menarik, tetapi tidak ada yang menyebutkan setiap bahasa L.X secara alami dikaitkan dengan struktur monoid melalui hubungan kongruensi Nerode-Myhill.

Orang-orang berikut telah menggunakan pandangan aljabar ini dalam kasus bahasa reguler: Samuel Eilenberg pada Teori Automata, Jean Berstel , pin Jean-Eric , Marcel Schützenberg dan Teori Krohn-Rhodes .

Juga ada aljabar nontrivial yang terlibat dalam pekerjaan di sekitar dugaan Cerny , sebagian besar cukup kombinatorial. Tetapi baru-baru ini saya telah melihat lebih banyak dilakukan dengan aljabar linier, teori cincin dan teori representasi, mencari pekerjaan Benjamin Steinberg dan Jorge Almeida .

Ngomong-ngomong, Anda bisa tampil cukup baik di area ini dengan teori Semigroup-, Monoid- dan Group, tetapi teori Kategori dan Teori Homotopy tidak banyak digunakan di area ini. Tetapi mungkin menarik untuk dicatat bahwa S. Eilenberg adalah salah satu pendiri dari Teori Kategori, meskipun ini sebelum ia terlibat dalam Teori Automata.


Bisa juga menarik untuk melihat bahasa pohon, bukan bahasa kata. Masalah terbuka yang lama berdiri adalah untuk mengkarakterisasi kekuatan ekspresif dari Logika Orde Pertama pada pohon dalam hal beberapa objek aljabar yang terkait dengannya (disebutkan dalam "Beberapa Masalah Terbuka di Automata dan Logika" di ACM SIGLOG News). Untuk bacaan lebih lanjut, saya akan merekomendasikan makalah oleh Mikołaj Bojańczyk dan Howard Straubing.
Bartosz Bednarczyk

4

Tesis Brent Yorgey , walaupun masih berupa konsep, melakukan pekerjaan yang luar biasa dalam menjelaskan mengapa minat Anda relevan dengan TCS.

Berikut ini adalah pembicaraan Joyal April lalu tentang materi terkait.


12
Tidak yakin apa kebiasaan di sini, tetapi pada Stack Overflow , jawaban ini mungkin akan segera dihapus sebagai jawaban tautan saja. Maukah Anda memberikan ringkasan tentang bagaimana tautan menjawab pertanyaan, tidak hanya itu? Tautan cenderung rusak seiring waktu dan tanpa tautan, jawaban Anda hampir tidak berguna.
Palec

1
Jangan khawatir. Saya menulis pengingat untuk memperbaruinya dengan draf terakhirnya.
Chad Brewbaker

4
@ChadBrewbaker Tapi, tetap saja, jawaban Anda pada dasarnya hanya dua tautan. Bahkan jika Anda berjanji untuk menjaga tautan itu tetap terkini (yang merupakan tujuan mulia dan sangat dihargai, tetapi pasti akan gagal), itu adalah jawaban yang buruk.
David Richerby

3

Saya tidak tahu apakah Anda telah mempertimbangkan industri, tetapi perusahaan Ayasdi melakukan pekerjaan luar biasa menerapkan banyak homotopy dan metode topologi terapan lainnya dalam ilmu data. Mereka memadukan banyak teori dengan aplikasi. Pada dasarnya, untuk melihat apa yang mereka lakukan, lihat situs web Stanford Comptop. (Mayoritas orang berasal dari sana).


2

Selain apa yang dikatakan orang lain (saya kira aplikasi terbesar dari cabang-cabang ini memang dalam sistem tipe):

  • Teori kisi dan perintah parsial pada umumnya diterapkan sedikit untuk analisis perilaku sistem terdistribusi, dan untuk analisis aliran data dalam kompiler.
  • Saya juga melihat koneksi Galois diterapkan pada pembelajaran mesin (khususnya klasifikasi teks: koneksi Galois antara himpunan bagian dari simpul kiri dan kanan dari dokumen bipartit / grafik kata yang memungkinkan untuk secara dramatis mempercepat suatu algoritma).

1

Koneksi antara Aljabar dan Ilmu Komputer Teoritis sangat kuat. Nic Doye sudah menyebutkan Computer Aljabar, tetapi ia tidak secara eksplisit memasukkan teori sistem penulisan ulang, yang merupakan bagian penting dari Aljabar Komputer, dengan aplikasi dalam penyelesaian persamaan otomatis dan penalaran otomatis. Sistem penulisan ulang string adalah sub-area penting, dengan aplikasi dalam teori grup komputasi. Lihat buku "String Rewriting Systems", karya Ronald Book dan Friedrich Otto, misalnya.

Ada juga hubungan antara teori grafik dan aljabar, yang mencakup misalnya teori spektral grafik dan jaringan kompleks yang berkembang dengan baik, dan juga teori simetri grafik (grafik Cayley, grafik transek-simpul, dan jenis grafik simetris lainnya) , yang banyak digunakan sebagai model untuk jaringan interkoneksi di komputer paralel). Periksa buku "Teori Grafik Aljabar", oleh Chris Godsil dan Gordon Royle, untuk ikhtisar topik yang berbeda.


0

Lihatlah situasi dalam visi komputer. Ada banyak topik, khususnya, tentang tipe algoritmik, yang mana tiga area pertama yang Anda daftarkan sangat berguna.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.