Kompleksitas masalah persimpangan coset

Dengan diberikannya kelompok simetri dan dua subkelompok , dan , apakah tahan? $S_n$ $G, H\leq S_n$ $\pi\in S_n$ $G\pi\cap H=\emptyset$

Sejauh yang saya tahu, masalahnya dikenal sebagai masalah persimpangan coset. Saya bertanya-tanya apa kerumitannya? Secara khusus, apakah masalah ini diketahui berada dalam COAM?

Terlebih lagi, jika dibatasi menjadi abelian, seperti apa kompleksitasnya? $H$

cc.complexity-theory graph-isomorphism gr.group-theory

— maomao
sumber

Bagaimana kedua kelompok diwakili sebagai input?

— Emil Jeřábek mendukung Monica

oleh konvensi, mereka diberikan oleh set generator.

— maomao

Masalah persimpangan coset biasanya diutarakan sebaliknya: jawabannya adalah ya jika mereka berpotongan. Ini adalah versi dari masalah yang ada di

N P \cap c o A M

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

— Joshua Grochow

Catatan samping yang menarik, yang tidak membatalkan hal-hal di atas: grafik isomorfisme, persimpangan coset, dan string isomorfisme adalah semua subjek hasil baru oleh Babai yang pertama kali dijelaskan dalam sebuah seminar beberapa hari yang lalu. Belum ada publikasi, tetapi sepertinya sekarang ada algoritma kuasi-polinomial untuk semuanya.

— Perry

Jawaban:

Waktu yang cukup eksponensial dan (untuk kebalikan dari masalah seperti yang dinyatakan: Coset Intersection biasanya dianggap memiliki jawaban "ya" jika cosets berpotongan, kebalikan dari yang dinyatakan dalam OQ.) $\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( salinan penulis gratis ) memberikan algoritma -waktu, sementara Babai (lihat tesis Ph.D 1983-nya, juga Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 , dan versi jurnal yang akan muncul) memberikan $2^{O(n)}$ algoritma waktu, yang tetap paling dikenal hingga saat ini. Sejak grafik isomorfisma mengurangi ke persimpangan koset kuadrat berukuran, meningkatkan ini untukakan meningkatkan keadaan seni untuk grafik isomorfisma. $2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$ $2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

— Joshua Grochow
sumber

Pertimbangkan komplemen, yaitu di mana Anda diminta untuk menguji apakah . Seperti yang saya tunjukkan dalam jawaban ini , menguji apakah yaitu di [1]. Jadi Anda dapat menebak dan menguji dalam waktu polinomial apakah , dan . Ini menghasilkan $G \pi \cap H \not= \emptyset$ $g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$ $\text{NC} \subseteq \text{P}$ $g, h \in S_n$ $g \in G$ $h \in H$ $g \pi = h$ $\text{NP}$ batas atas dan, oleh karena itu, masalah Anda ada dalam . $\text{coNP}$

Sunting : Ditampilkan di [2, Thm. 15] bahwa masalah persimpangan coset adalah dalam . Seperti disebutkan di sini , hal. 7, masalah persimpangan coset karena itu bukan NP-lengkap, kecuali hirarki waktu polinomial runtuh. Selain itu, tercantum di sini , hal. 6, yang ditunjukkan oleh Luks bahwa masalahnya ada di ketika dapat dipecahkan, yang mencakup kasus $\text{NP} \cap \text{coAM}$ $\text{P}$ $H$ $H$ abelian.

[1] L. Babai, EM Luks & A. Seress. Grup permutasi di NC . Proc Simposium ACM ke 19 tentang Teori komputasi, hal. 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. Moran. Permainan Arthur-Merlin: Sistem bukti acak, dan hierarki kelas kompleksitas . Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem, vol. 36, edisi 2, hlm. 254-276, 1988.

— Michael Blondin
sumber

terima kasih banyak atas jawabannya. Untuk kasus H adalah subkelompok normal, jelas. Namun, jika H hanya abelian, itu tidak terlalu jelas bagi saya. Apakah

masih bertahan? (maaf atas kebodohan saya ...)

G H =< s t : s \in S, t \in T >

$GH=<{st: s\in S, t\in T}>$

— maomao

Buruk saya, otak saya bercampur "normal" dan "dipecahkan" sejenak. Maafkan saya. Saya mengedit jawabannya, saya harap ini menjawab pertanyaan Anda.

— Michael Blondin

Ketika H adalah subkelompok normal G, masalah persimpangan coset jauh lebih mudah: mengurangi hanya masalah keanggotaan (

dalam G).

π

$\pi$

— Joshua Grochow

Benar, terima kasih. Bagian dari jawaban saya itu sangat tidak berharga.

— Michael Blondin

Saya menghapus paragraf, itu hanya membingungkan.

— Michael Blondin