Kapan GI polinomial menyiratkan GI berwarna polinomial (tepi)?

Crossposted dari MO .

(tepi) graf isomorfisma berwarna adalah GI yang mempertahankan warna (dari tepi jika berwarna tepi).

Ada beberapa pengurangan menggunakan transformasi / gadget (tepi) GI berwarna menjadi GI. Untuk GI berwarna tepi, yang paling sederhana adalah mengganti tepi berwarna dengan gadget pengawet GI yang menyandikan warna (membagi tepi cukup kali adalah kasus yang paling sederhana). Untuk GI berwarna titik, pasang beberapa gadget ke titik.

GI Misalkan adalah polinomial untuk beberapa kelas graf . $C$

Q1 Untuk polinomial mana GI menyiratkan polinomial (tepi) GI berwarna? $C$

Menggunakan pengurangan dengan gadget mungkin membuat grafik bukan anggota . $C$

Di sisi lain, gadget / transformasi tertentu mungkin membuat grafik anggota kelas polinomial GI lainnya.

Contoh reduksi tepi berwarna . $G \to G'$

Buat klik dari . Tepi warna pada dengan dan non-tepi dengan . Ini adalah fungsi pewarnaan yang melindungi dan untuk memulihkan dari cukup ambil tepinya yang berwarna . adalah klik, gambar, grafik permutasi dan hampir pasti di banyak kelas bagus lainnya. Membagi-bagi tepi ganjil beberapa kali (berbeda untuk menghilangkan warna dan membuat grafik bipartit sempurna, mempertahankan isomorfisme). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

Mungkin pendekatan lain adalah dengan mengambil grafik garis dan menambahkan simpul liontin (universal) yang terhubung ke simpul yang sesuai dengan . $G'$ $E(G')$

Q2 Apakah ada gadget / transformasi yang bagus untuk konstruksi serupa?

Pikirkan tentang merencanakan dengan memilih beberapa gambar universal klik dan mengganti edge crossing dengan gadget planar yang mempertahankan warna katakan untuk warna yang sama dan sesuatu yang lain untuk warna yang berbeda. Tidak tahu apakah ini mempertahankan isomorfisme. $G'$ $C_4,C_6$

Pendekatan lain yang mungkin adalah automorfisme yang mempertahankan pewarnaan atau membagi setiap tepi , gunakan 3 warna untuk simpul dan cobalah untuk mengenali diri grafik komplementer dengan pertukaran otomorfisme dan . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

Q3 Apakah kelompok automorfisme dari subdivisi dapat untuk ? $K_n$

Pesanan setelah beberapa persyaratan awal adalah yaitu A052565 $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima menyarankan ini mungkin mudah untuk cukup besar dan istilah awal adalah pengecualian. $n$

Q4 Diberikan subdivisi berwarna vertex dari untuk dan grup automorfismenya dimana simpul derajat tinggi diwarnai , beberapa derajat adalah dan yang lainnya , apa kompleksitas untuk menemukan automorfisme yang bertukar dan ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Menambahkan makalah On Recognizing Cayley Graphs p 86 klaim:

Diberi kelas C dari grafik Cayley, dan diberi grafik tepi-warna G dari n simpul dan tepi m, kami tertarik pada masalah memeriksa apakah ada isomorfisme φ menjaga warna sedemikian rupa sehingga G isomorfik oleh φ ke grafik di C diwarnai oleh elemen-elemen set pembangkitnya. Dalam tulisan ini, kami memberikan algoritma O (m log n) -waktu untuk memeriksa apakah G adalah warna-isomorfik pada grafik Cayley.

Ini muncul dekat dengan pertanyaan, apakah ini relevan?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— joro
sumber

Ada hubungannya dengan hypergraphs. Tepi berwarna (u, v, c) mungkin diperlakukan sebagai hyperedge dan ada hypergraph reduksi ke grafik.

— joro

Jawaban:

T2: contoh yang bagus adalah gadget label pelabelan yang digunakan untuk membuktikan bahwa:

Teorema : Planar GI berwarna terkoneksi 3 planar GI terkoneksi 3 $\leq_T^L$

Lihat Thomas Thierauf, Fabian Wagner: Masalah Isomorfisme untuk Grafik Planar 3-Connected berada dalam Logspace yang Jelas. Teori Komputasi. Syst. 47 (3): 655-673 (2010)

"Gadget pelabelan" yang digunakan mempertahankan 3 keterhubungan dan batasan planaritas.

— Marzio De Biasi
sumber

Terima kasih. Bagaimana dengan pertanyaan lain?

— joro

@ joro: Saya akan memikirkan Q3, Q4; untuk Q1 saya pikir - mungkin - lebih menarik untuk bertanya "Untuk yang polinomial C -nya tidak menyiratkan (atau tidak diketahui apakah ini menyiratkan ...) polinomial (tepi) berwarna GI?" (karena untuk banyak kelas grafik dimana GI adalah waktu polinomial yang dapat dipecahkan, pelabelan simpul / tepi sederhana tidak membuat grafik keluar dari )

C

$\mathcal{C}$

— Marzio De Biasi

Re Q1: jika Anda menemukan pertanyaan yang menarik, tanyakan. Atau mungkin edit pertanyaan ini dengan Q1.1 yang dikaitkan dengan diri Anda. Beberapa pemikiran sambil minum bir :). (tepi) grafik berwarna sepele muncul hypergraph kepada saya. HGI semudah GI melalui reduksi IIRC. Beberapa kasus automorfisme terbatas adalah NP-lengkap dan beberapa polinomial IIRC.

— joro

Menambahkan makalah dalam pertanyaan yang mungkin relevan.

— joro

Sebagian jawaban, tidak cukup memahami teori kelompok, tetapi dua makalah tampaknya memberikan hasil parsial.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Makalah ini mengklaim:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

Definisi persis "tepi-warna" tidak jelas bagi saya.

Paper Circulant Proving Paper adalah polinomial dalam catatan kaki pada hal.1 klaim:

Yang kami maksud dengan grafik adalah grafik biasa, sebuah digraf, atau bahkan grafik berwarna tepi

Ditanyakan pada MO apa saja batasan untuk pewarnaan.

— joro
sumber