Pernyataan yang menyiratkan

22

Ini semacam pertanyaan terbuka - yang sebelumnya saya minta maaf.

Apakah ada contoh pernyataan yang (tampaknya) tidak ada hubungannya dengan kompleksitas atau mesin Turing tetapi jawabannya akan menyiratkan ? $\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes p-vs-np

— Dominic van der Zypen
sumber

4

Apakah "Tidak ada sistem bukti untuk logika proposisional di mana setiap tautologi memiliki bukti panjang polinomial (dalam panjang )." menghitung, atau apakah itu terlalu dekat dengan kompleksitas karena ikatan polinomial?

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

— Jan Johannsen

Karena tidak ada jawaban "pasti" untuk pertanyaan saya, dugaan Anda akan dihitung ... Saya hanya mencari sudut pandang yang mengejutkan dan berbeda pada masalah P vs NP

— Dominic van der Zypen

4

Saya kira kompleksitas deskriptif memberikan beberapa contoh. Misalnya, pernyataan "ada properti (dari struktur yang diurutan) yang dapat diekspresikan oleh formula eksistensial urutan kedua yang mungkin tidak diungkapkan oleh formula universal urutan kedua" adalah setara dengan jawaban @ JanJohannsen, sedangkan "ada properti (dari struktur yang dipesan) yang dapat diekspresikan oleh rumus eksistensial urutan kedua yang tidak dapat diekspresikan oleh rumus urutan pertama dengan operator titik tetap paling sedikit "adalah . Apakah ini diperhitungkan?

P \neq N P

$\mathsf P\neq\mathsf{NP}$

— Damiano Mazza

" dan " * rimshot *

N \neq 1

$\mathbf{N}\neq 1$

P \neq 0

$\mathbf{P}\neq 0$

— David Richerby

1

Pertanyaan serupa cstheory.stackexchange.com/questions/9806/...

— Tayfun Bayar

14

Sistem bukti untuk logika proposisional disebut terikat secara polinomi , jika setiap tautologi memiliki bukti dalam sistem panjang polinomial dalam panjang . $\varphi$ $\varphi$

Pernyataan "Tidak ada sistem bukti proposisional terikat secara polinomi" adalah setara dengan oleh hasil klasik Cook dan Reckhow , jadi itu menyiratkan . $\mathsf{NP} \neq \mathsf{co}\text-\mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Jan Johannsen
sumber

2

Saya akan berpikir bahwa (dengan definisi sistem bukti proposisional untuk bahasa tautologi), asumsi ("Tidak ada sistem bukti untuk logika proposisional di mana setiap tautologi memiliki bukti polinomial (dalam panjang ) panjang ") hampir identik dengan asumsi ; dan karenanya hampir identik dengan asumsi .

c o N P

$\mathsf{coNP}$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

N P \neq P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{P}$

— Iddo Tzameret

@IddoTzameret: tetapi kita perlu tahu bahwa TAUTOLOGY adalah , kan? Dan itu tidak sepele. Saya kira contoh ini hanya menegaskan kembali minat memiliki masalah lengkap "alami": kita dapat berbicara tentang kelas kompleksitas tanpa secara eksplisit berbicara tentang mesin yang digunakan untuk mendefinisikan mereka (yang tampaknya menjadi apa yang diminta OP). Atau mungkin saya salah mengerti komentar Anda ...

c o N P

$\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza

@ Damiano, saya pikir fakta bahwa TAUT adalah coNP-complete adalah sepele, dalam arti bahwa TAUT tersirat oleh definisi dan kelengkapan NP dari SAT.

— Iddo Tzameret

@ IddoTzameret, Ok, tapi Anda setuju bahwa

kelengkapan SAT tidak sepele, kan? Pada dasarnya itulah yang saya katakan. Maksud saya, di antara pernyataan "

" yang dirumuskan dalam hal mesin-Turing dan runtime dan stament mereka "tidak ada sistem bukti proposisional yang dibatasi secara polinomi" Saya melihat kesenjangan yang tidak sepele, mereka pasti tidak t terlihat "hampir identik". Kesenjangan itu ada pada kelengkapan TAUT atau SAT, mana pun yang Anda suka, tetapi ada di sana. Apakah kamu tidak setuju?

N P

$\mathsf{NP}$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza

1

Ya, properti "

adalah bukti

" harus dapat diperiksa dalam waktu polinomial (dalam

dan

). Dan itu harus suara dan lengkap, yaitu, formula harus memiliki bukti jika itu adalah tautologi.

p

$p$

φ

$\varphi$

| p |

$|p|$

| φ |

$|\varphi|$

— Jan Johannsen

12

Teori kompleksitas geometris (GCT) (juga [1]) belum disebutkan. ini adalah program ambisius besar untuk menghubungkan P vs NP ke geometri aljabar. misalnya sinopsis singkat dari survei Memahami Pendekatan Mulmuley-Sohoni untuk P vs. NP , Regan:

Stabilitas secara informal merupakan gagasan tidak menjadi "kacau," dan telah berkembang menjadi cabang utama geometri aljabar di bawah pengaruh penuntun DA Mumford antara lain. Ketan Mulmuley dan Milind Sohoni [MS02] mengamati bahwa banyak pertanyaan tentang kelas kompleksitas dapat diajukan kembali sebagai pertanyaan tentang sifat aksi kelompok pada vektor tertentu di ruang tertentu yang menyandikan masalah di kelas ini. Survei ini menjelaskan kerangka kerja mereka dari sudut pandang awam, dan upaya untuk mengevaluasi apakah pendekatan ini benar-benar menambah kekuatan baru untuk serangan terhadap pertanyaan P. vs. NP.

juga beberapa sinopsis di bagian "Harapan baru?" dalam Status masalah P vs NP , Fortnow (2009)

Mulmuley dan Sohoni telah mengurangi pertanyaan tentang tidak adanya algoritma waktu polinomial untuk semua masalah NP-lengkap menjadi pertanyaan tentang keberadaan algoritma waktu polinomial (dengan properti tertentu) untuk masalah tertentu. Ini seharusnya memberi kita harapan, bahkan dalam menghadapi masalah (1) - (3).

Namun demikian, Mulmuley percaya bahwa akan dibutuhkan sekitar 100 tahun untuk melaksanakan program ini, jika berhasil sama sekali.

[1] Penjelasan gaya Wikipedia tentang Geometric Complexity Theory (tcs.se)

— ay
sumber

Terima kasih telah membawa GCT! Tampaknya menyentuh pada masalah saya sendiri [M], tetapi saya belum pernah menemukannya sebelumnya. "Masalah komputasi ini dapat ditandai dengan simetri mereka. Program ini bertujuan memanfaatkan simetri ini untuk membuktikan batas bawah."

— DukeZhou

10

Hasil sebagai berikut oleh Raz (Elusive Fungsi dan Hilir Bounds untuk Sirkuit Aritmatika, STOC'08) bertujuan (dan tidak langsung ), tapi mungkin cukup dekat untuk OP: $VP\neq VNP$ $P\neq NP$

$f:\mathbb F^n \to \mathbb F^m$ $(s, r)$ $Γ : \mathbb F^s → \mathbb F^m$ $r$ $f$ $\not⊂$ $Γ$

Untuk banyak pengaturan parameter , konstruksi eksplisit pemetaan polinomial yang sulit dipahami menyiratkan batas bawah yang kuat (hingga eksponensial) untuk rangkaian aritmetika umum. $n, m, s, r$

— Iddo Tzameret
sumber

Apa itu pemetaan polinomial? Apakah maksud Anda "polinomial"? Apakah maksud Anda "fungsi yang dapat dihitung polinomial-waktu"? Sesuatu yang lain

— DW

2

Ini hanya urutan polinomial , masing-masing dengan variabel yang sama ; karenanya mendefinisikan pemetaan dari hingga .

m

$m$

n

$n$

F^{n}

$\mathbb{F}^n$

F^{m}

$\mathbb{F}^m$

— Iddo Tzameret

9

ada sedikit sisi / lebih baru dipelajari bidang kompleksitas yang disebut kompleksitas grafik yang mempelajari bagaimana grafik yang lebih besar dibangun dari grafik yang lebih kecil menggunakan operasi AND dan OR dari edge. Jukna memiliki survei yang bagus . khususnya menggunakan satuan "grafik bintang" ada teorema kunci, lihat hal. 20 komentar 1.18 (teorema secara teknis lebih kuat daripada di bawah dan sebenarnya menyiratkan ): $P \ne NP/poly$

Kita sudah mengetahui (Teorema 1.7) bahwa grafik bipartit G dari kompleksitas ada; pada kenyataannya, hampir semua grafik. Di sisi lain, Lemma Pembesaran Kuat menyiratkan bahwa bahkan batas bawah untuk konstanta kecil sewenang-wenang pada kompleksitas bintang dari grafik eksplisit dengan akan memiliki konsekuensi besar dalam kompleksitas rangkaian: grafik seperti itu akan memberikan fungsi boolean eksplisit membutuhkan rangkaian eksponensial (dalam angka $n × m$ $Star(G) = (nm/ \log n)$ $Star(G) ≥ (2+c)n$ $c > 0$ $n×m$ $G$ $m = o(n)$ $f_G$ $\log_2 nm$ dari variabel) ukuran! (Ingatlah bahwa, untuk fungsi boolean, bahkan batas bawah super-linier tidak diketahui sejauh ini.) Secara khusus, jika grafik sedemikian rupa sehingga kedekatan simpul dalam dapat ditentukan oleh mesin Turing nondeterministic yang berjalan dalam polinomial waktu dalam panjang biner dari kode simpul, kemudian terikat lebih rendah untuk konstanta kecil yang sewenang-wenang akan menyiratkan bahwa . Dengan demikian, kompleksitas bintang dari grafik menangkap salah satu masalah paling mendasar dari ilmu komputer. $G$ $G$ $log_2 n$ $Star(G) ≥ (2 + c)n$ $c > 0$ $P \ne NP$

— ay
sumber

6

Saya pikir maksud Anda . Pernyataan sudah sepele dikenal.

P / p o l y ⊅ N P

$P/poly \not \supset NP$

P \neq N P / p o l y

$P \neq NP/poly$

— Yonatan N

@YonatanN benar?

P \neq N P / p o l y

$P\neq NP/poly$

— T ....

Ya. Bahkan P / poli diketahui mengandung masalah di luar P, seperti masalah terputusnya unary.

— Yonatan N

Terima kasih atas tautan Jukna! "Kompleksitas adalah salah satu fenomena ilmiah penting di zaman kita. Dalam bab ini kita mempertimbangkan kompleksitas grafik."

— DukeZhou

1

Bagaimana dengan Philip Maymin

" Pasar efisien jika dan hanya jika P = NP " mengklaim?

— BPR
sumber

3

Klaim dan "bukti" dalam makalah ini tidak terlihat teliti, dan argumennya sepertinya kurang bagi saya. Apakah Anda membaca makalah ini?

— Rahul Savani

Saya membahasnya, dan saya setuju bahwa metodologinya tidak begitu meyakinkan, inilah mengapa saya menyebutnya "klaim" daripada hasil.

— RB

5

Dan itu ditulis dalam Microsoft Word: /

— gigabytes

0

Fungsi analog , dan ; , dan juga akan menarik dalam studi mereka tentang pertanyaan (?). Sementara , dan adalah masalah keputusan yang mengembalikan bit jawaban ya / tidak, , dan sebenarnya mengembalikan jawaban ( memverifikasi jawaban). Kita tahu bahwa , iff . $P$ $NP$ $FP$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$ $P$ $NP$ $1$ $FP$ $FNP$ $FNP$ $FP$ $=$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$

— pengguna3483902
sumber