Jika P = BQP, apakah ini menyiratkan bahwa PSPACE (= IP) = AM?

18

Baru-baru ini, Watrous et al membuktikan bahwa QIP (3) = PSPACE hasil yang luar biasa. Ini adalah hasil yang mengejutkan bagi diri saya untuk sedikitnya dan itu membuat saya berpikir ...

Saya bertanya-tanya bagaimana jika Komputer Quantum dapat disimulasikan secara efisien oleh Komputer Klasik. Mungkinkah ini HANYA terkait dengan Divide antara IP dan AM? Yang saya maksud adalah bahwa IP ditandai dengan jumlah putaran interaksi klasik Polinomial, sedangkan AM memiliki 2 putaran interaksi klasik. Bisakah mensimulasikan Quantum Computing mengurangi jumlah interaksi untuk IP dari polinomial ke nilai konstan?

— Zelah 02
sumber

3

Saya mengubah "PSPACE (IP)" dalam judul menjadi "PSPACE (= IP)" karena "A (B)" adalah cara yang kurang umum untuk menunjukkan kelas "

"

A^{B}

$A^B$

— Tsuyoshi Ito

2

Ngomong-ngomong, sebenarnya, saya pikir intuisi Anda didasarkan pada arah QIP (3) ⊇PSPACE, yang dikenal pada tahun 1999: Watrous 2003 , arxiv.org/abs/cs.CC/9901015 . Bahkan, itulah makalah pertama yang membahas bukti interaktif kuantum.

— Tsuyoshi Ito

18

Pertanyaan bagus! Jawaban singkat: tidak ada implikasi seperti diketahui; tetapi itu tidak berarti tidak layak untuk mencoba membuktikan ...

P = B Q P \Rightarrow I P = A M

$\mathsf{P} = \mathsf{BQP} \Rightarrow \mathsf{IP} = \mathsf{AM}$

Saya akan mengatakan, bahwa menemukan implikasi seperti itu tampaknya tidak mungkin. Saya pikir pesan dari banyak teori kompleksitas kuantum adalah bahwa, sementara komputer kuantum bukan obat mujarab untuk semua penyelesaian masalah-masalah sulit, mereka dapat jauh lebih kuat daripada komputer klasik dalam keadaan tertentu tertentu.

Misalnya, dalam kompleksitas kueri, algoritma kuantum dapat secara efisien menyelesaikan masalah tertentu yang tidak dapat dibuktikan oleh klasik, ketika input dijanjikan untuk mematuhi beberapa struktur global yang bagus. Misalnya, algoritma Shor didasarkan pada algoritma untuk dengan cepat menemukan periode yang tidak diketahui dari suatu fungsi yang dijanjikan akan periodik. Di sisi lain, algoritma kueri kuantum tidak terlalu kuat daripada yang klasik untuk memecahkan masalah di mana tidak ada struktur khusus yang diasumsikan pada input. (Lihat survei Buhrman dan de Wolf tentang kompleksitas kueri untuk poin terakhir ini.)

$\mathsf{QIP}(3) = \mathsf{QIP} = \mathsf{IP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BQP}$

— Andy Drucker
sumber

16

Saya setuju dengan apa yang ditulis Andy dan saya ingin "jawaban" ini menjadi komentar atas jawabannya, tetapi ternyata terlalu lama untuk berkomentar ...

Bagaimanapun, mungkin bermanfaat untuk mengatakan sesuatu lebih banyak tentang aspek komputasi kuantum apa (atau mungkin informasi kuantum) yang memungkinkan untuk menahan PSPACE di QIP (3) untuk dibuktikan. Bukti yang diketahui dari penahanan ini tidak mengikuti dari kemampuan verifikasi untuk menghitung fungsi-fungsi yang dapat dihitung dengan kuantum polinomial-waktu. Penjelasan yang lebih akurat adalah bahwa bukti menggunakan cara-cara spesifik yang dapat digunakan oleh seorang pepatah untuk memanipulasi keadaan kuantum terjerat yang dibagikannya dengan verifier. Jika peribahasa tidak dapat memanipulasi informasi kuantum, atau jika entah bagaimana secara ajaib dapat memanipulasi keadaan terjerat bersama dengan cara yang lebih kuat daripada teori informasi kuantum memungkinkan, bukti tidak akan bekerja.

Jadi, dalam pandangan saya penahanan PSPACE di QIP (3) tidak mengatakan apa-apa tentang hubungan antara AM dan PSPACE.

— John Watrous
sumber

11

Jawaban dari John Watrous dan Andy Drucker sangat baik untuk memahami beberapa masalah yang terlibat.

$P = BQP$ $PH$ $PSPACE \supseteq PH \supset\neq AM$

$IP = PSPACE$

[1] L. Fortnow dan J. Rogers. Keterbatasan kompleksitas pada perhitungan kuantum . Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem, 59 (2): 240-252, 1999. Edisi khusus untuk makalah terpilih dari Konferensi IEEE ke-13 tentang Kompleksitas Komputasi. Juga tersedia di sini .

— Joshua Grochow
sumber

6

Jawaban lain sangat bagus, dan ini tidak dimaksudkan untuk menggantikan atau bertentangan dengan salah satu dari mereka, hanya untuk menawarkan beberapa intuisi mengapa P = BQP tidak selalu menyiratkan kesetaraan antara sistem bukti interaktif kuantum dan klasik (untuk putaran tetap dll). Namun sekarang, kita tahu bahwa QIP = IP berkat karya Jain, Ji, Upadhyay, dan Watrous, jadi saya tentu tidak berusaha mengklaim bahwa persamaan seperti itu tidak pernah terjadi.

Jika kita hanya berasumsi bahwa P = BQP maka kita belajar sesuatu hanya tentang masalah keputusan mana yang dapat dijawab oleh model kuantum dan klasik. Ini tidak sama dengan menyiratkan bahwa model sebenarnya sama. Perbedaan utama adalah bahwa komputer kuantum dapat memproses status dalam superposisi, yang berarti bahwa input dan output mereka tidak perlu terbatas pada status klasik. Ini adalah perbedaan yang sangat penting antara model kuantum dan klasik, karena input / output kuantum memungkinkan untuk mengajukan oracle dengan superposisi status klasik atau untuk mengkomunikasikan status kuantum (yang mungkin berpotensi memiliki deskripsi klasik eksponensial) antara verifier dan prover. Memang, nubuat memang ada yang memisahkan BQP dari P, dan komunikasi kuantum menyebabkan berkurangnya kompleksitas komunikasi untuk sejumlah masalah. Jadi,

Untuk alasan ini, pertanyaan apakah P = BQP bukanlah faktor penentu apakah model kuantum dan klasik sama dalam situasi yang memanfaatkan kueri komunikasi / oracle.

— Joe Fitzsimons
sumber