Berapakah minimum dari semua distribusi vektor satuan dari varian produk titik vektor?

Saya mencoba menemukan distribusi di atas vektor acak, katakanlah , pada -satuan dimensi ruang (di mana ) yang meminimalkan \ max_ {i \ neq j} \ mathrm {Var} (x_i ^ T x_j) tunduk pada kendala \ mathbb {E} [x_i ^ Tx_j] = 0 .$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$E [ x T i x j ] = $\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

Saya mencoba beberapa distribusi dan hampir semuanya memiliki varian $1/k$ . Misalnya, distribusi di mana setiap koordinat setiap $x_i$ dipilih secara independen dan seragam dari $\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$ dan distribusi di mana masing-masing $x_i$ adalah vektor seragam independen pada $k$ -dimensional unit sphere memiliki varian $1/k$ .

Apakah $1/k$ varian minimum di antara semua distribusi?

Saya akan menyajikan rumusan masalah yang setara tetapi terlihat lebih sederhana, dan menunjukkan batas bawah ( n / k - 1) / ( n −1). Saya juga menunjukkan koneksi ke masalah terbuka dalam informasi kuantum. [Sunting dalam revisi 3: Dalam revisi sebelumnya, saya mengklaim bahwa karakterisasi yang tepat dari kasus-kasus di mana batas bawah yang ditunjukkan di bawah ini cenderung sulit karena pertanyaan analog dalam kasus kompleks mencakup masalah terbuka tentang SIC-POVMs di informasi kuantum. Namun, koneksi ke SIC-POVM ini salah. Untuk detailnya, lihat bagian “Koneksi yang salah ke SIC-POVMs dalam informasi kuantum” di bawah ini.]

Formulasi yang setara

Pertama, seperti yang telah ditunjukkan dalam jawaban daniello, perhatikan bahwa Var ( x _i ^T x _j ) = E [( x _i ^T x _j ) ² ] - E [ x _i ^T x _j ] ² = E [( x _i ^T x _j ) ² ]. Jadi dalam sisa jawabannya, kita lupa tentang varians dan bukannya meminimalkan max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ].

Selanjutnya, begitu kita memutuskan tujuan kita adalah untuk meminimalkan maks _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ], kita dapat mengabaikan batasan bahwa E [ x _i ^T x _j ] = 0. Ini karena jika kita memiliki random vektor satuan x ₁ , ..., x _n , maka kita dapat meniadakan masing-masing secara independen dengan probabilitas 1/2 untuk memenuhi E [ x _i ^T x _j ] = 0 tanpa mengubah nilai fungsi tujuan max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j) ² ].

Selain itu, mengubah fungsi tujuan dari maks _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] ke (1 / ( n ( n −1))))) _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] tidak mengubah nilai optimal. Yang terakhir paling banyak yang pertama karena rata-rata paling banyak maksimum. Namun, kita selalu dapat membuat nilai E [( x _i ^T x _j ) ² ] untuk berbagai pilihan ( i , j ) ( i ≠j ) sama dengan mengubah n vektor x ₁ , ..., x _n secara acak.

Jadi untuk setiap n dan k , nilai optimal dari masalah yang dimaksud adalah sama dengan minimum (1 / ( n ( n −1)))) _{i i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] di mana x ₁ ,…, x _n adalah variabel acak yang menggunakan vektor satuan dalam ℝ ^k sebagai nilai.

Namun, dengan linearitas harapan, fungsi objektif ini sama dengan nilai yang diharapkan E [(1 / ( n ( n n1 ))))) _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² ]. Karena minimum adalah paling banyak rata-rata, tidak perlu lagi mempertimbangkan distribusi probabilitas. Artinya, nilai optimal masalah di atas sama dengan nilai optimal berikut ini:

Pilih vektor satuan x ₁ ,…, x _n ∈ ℝ ^k untuk meminimalkan (1 / ( n ( n −1)))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² .

Batas bawah

Dengan menggunakan formulasi yang setara ini, kami akan membuktikan bahwa nilai optimal setidaknya ( n / k - 1) / ( n −1).

Untuk 1≤ i ≤ n , misalkan X _i = x _i x _i ^T menjadi proyektor peringkat-1 yang sesuai dengan vektor satuan x _i . Kemudian, ia berpendapat bahwa ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j ).

Biarkan Y = _i X _i . Kemudian, ia menyatakan bahwa _{i i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = _{i i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n .

Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz menyiratkan bahwa Tr ( Y ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / k , dan karenanya _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = Tr ( Y ² ) - n ≥ n ² / k - n . Dengan membaginya dengan n ( n −1), kita memperoleh bahwa nilai obyektif setidaknya ( n / k - 1) / ( n )1).

Khususnya, ketika n = k +1, jawaban daniello berada dalam faktor 2 dari nilai optimal.

Kapan batas bawah ini dapat dicapai?

Mencapai ini terikat lebih rendah ( n / k - 1) / ( n -1) adalah setara dengan membuat Y = ( n / k ) saya . Saya tidak tahu karakterisasi pasti ketika itu dapat dicapai, tetapi mengikuti kondisi yang cukup ada:

• Ketika n = k +1, itu dapat dicapai dengan mempertimbangkan k +1 unit vektor yang membentuk k -simplex biasa yang berpusat pada titik asal, meningkat dari 2 / ( k ( k +1)) dalam jawaban daniello ke optimal 1 / k ² .
• Ketika n adalah kelipatan k , itu jelas dapat dicapai dengan memperbaiki basis ortonormal dari ℝ ^k dan menetapkan masing-masing vektor basis ke n / k dari v ₁ ,…, v _n .
• Lebih umum daripada titik peluru terakhir, jika dapat dicapai dengan beberapa pilihan k dan keduanya n = n ₁ dan n = n ₂ , maka juga dapat dicapai untuk k yang sama dan n = n ₁ + n ₂ . Secara khusus, itu dicapai jika n = a k + b di mana a dan b adalah bilangan bulat memuaskan a ≥ b ≥0.

Meskipun saya belum memeriksa detail, tampaknya setiap desain 2 bola memberikan solusi untuk mencapai batas bawah ini.

Koneksi yang salah ke SIC-POVMs dalam informasi kuantum

Dalam revisi sebelumnya, saya menyatakan:

Saya menduga bahwa menjawab ini sepenuhnya adalah pertanyaan yang sulit. Alasannya adalah bahwa jika kita sebaliknya mempertimbangkan ruang vektor kompleks ℂ ^k , pertanyaan ini terkait dengan masalah terbuka dalam informasi kuantum.

Tetapi hubungan ini tidak benar. Saya akan menjelaskan alasannya.

Lebih tepatnya, pertimbangkan masalah berikut:

Pilih vektor satuan x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k untuk meminimalkan (1 / ( n ( n −1)))) ¢ _{i ≠ j} | x _i ^* x _j | ² .

Batas bawah di atas sama-sama berlaku dalam versi kompleks ini. Pertimbangkan kasus di mana n = k ² dalam versi kompleks. Maka batas bawah sama dengan 1 / ( k +1).

Sejauh ini benar.

Satu set k ² unit vektor x ₁ ,…, x _{k ²} ∈ ℂ ^{k yang} mencapai batas bawah disebut SIC-POVM dalam dimensi k ,

Bagian ini salah. SIC-POVM adalah seperangkat k ² vektor unit x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k yang | x _i ^* x _j | ² = 1 / ( k +1) untuk semua i ≠ j . Perhatikan bahwa di sini persyaratan harus berlaku untuk semua pasangan i ≠ j , bukan hanya rata-rata untuk semua pasangan i ≠ j . Di bagian "Rumusan ekivalen", kami menunjukkan kesetaraan antara meminimalkan maksimum dan meminimalkan rata-rata, tetapi ini dimungkinkan karena x ₁,…, X _n adalah variabel acak yang mengambil vektor satuan di sana. Di sini x ₁ , ..., x _n hanyalah vektor satuan, jadi kita tidak dapat menggunakan trik yang sama.

Jawaban cepat dan kotor untuk pertanyaan adalah "tidak, bisa lebih kecil": Biarkan menjadi basis standar, dan pertimbangkan proses acak berikut: pilih sepasang bilangan bulat yang berbeda i, j dari , dan set . Untuk vektor lainnya (untuk ) tetapkan untuk dengan cara satu-ke-satu. Kemudian, untuk setiap , jaga apa adanya atau balikkan (ke ) dengan probabilitas .$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

Mudah untuk melihat bahwa - baik dan adalah ortogonal atau mereka menunjuk ke arah yang sama / berlawanan dengan probabilitas masing-masing.x a x b $E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

Di sisi lain kita memiliki . Kami memilikinya jika dan hanya jika yang terjadi dengan probabilitas . Kalau tidak . Jadi kita memiliki itu untuk setiap , : ( x a ⋅ x b ) 2 = 1 { a , b } = { i , j $Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$ (xa⋅xb)2=0a$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

Intuisi saya adalah bahwa ini seburuk (kecil) karena mendapat tetapi saya tidak punya bukti. Lebih menarik adalah bahwa konstruksi ini tampaknya rusak untuk n >> k, dan juga ketika harus dipilih secara independen (mungkin dari distribusi yang berbeda).$x_i$