Apa yang terjadi jika kita mendefinisikan P P A D
Baru-baru ini memberikan algoritma cepat untuk Circuit satisfiability untuk sirkuit kecil ternyata menjadi penting, jadi saya ingin tahu apa yang terjadi pada versi rectricted dari P P A D
Apa yang terjadi jika kita mendefinisikan P P A D
Baru-baru ini memberikan algoritma cepat untuk Circuit satisfiability untuk sirkuit kecil ternyata menjadi penting, jadi saya ingin tahu apa yang terjadi pada versi rectricted dari P P A D
Jawaban:
Ide dasarnya cukup sederhana: A C 0
Ada banyak definisi setara PPAD dalam literatur yang berbeda dalam berbagai detail, oleh karena itu izinkan saya memperbaikinya di sini untuk definisi. Masalah pencarian NP S
Node 0 p ( n ) ∈ V x adalah sumber (yaitu, memiliki derajat 0 dan derajat 1 ). Jika u ∈ V x adalah sumber atau sink (dalam derajat 1 , keluar-derajat 0 ) selain 0 p ( n ) , maka h ( x , u ) adalah solusi untuk S ( x ) .
Kita dapat mendefinisikan A C 0 P A D dengan cara yang sama, kecuali kita membutuhkan f , g , h untuk berada dalam F A C 0 .
Saya akan mengabaikan h dalam konstruksi untuk kesederhanaan. (Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa seseorang dapat menganggapnya sebagai proyeksi, karenanya A C 0 -computable.)
Jadi, pertimbangkan masalah PPAD S yang didefinisikan oleh f dan g , dan perbaiki mesin Turing yang menghitung f dan g dalam waktu q ( n ) . Untuk setiap x , kita mendefinisikan grafik berarah G ′ x = ( V ′ x , E ′ x ) yang simpulnya adalah urutan dari bentuk berikut:
( 0 , u , c 1 , … , c k ) , di mana u ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , dan c 1 , … , c k adalahkonfigurasi k pertamadalam perhitungan f ( x , kamu ) .
( 0 , u , c 1 , ... , c q ( n ) , v , d 1 , ... , d k ) , di mana u , v ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , f ( x , u ) = v , c 1 , … , c q (
(1,v,d1,…,dk)
(1,v,d1,…,dq(n),u,c1,…,ck)
E′x consists of the edges in V′x×V′x of the following kinds:
(0,u,c1,…,ck)→(0,u,c1,…,ck+1)
(0,u,c1,…,cq(n))→(0,u,c1,…,cq(n),v)
(0,u,c1,…,cq(n),v,d1,…,dk)→(0,u,c1,…,cq(n),v,d1,…,dk+1)
(0,u,c1,…,cq(n),v,d1,…,dq(n))→(1,v,d1,…,dq(n),u,c1,…,cq(n)) if f(u)=v and g(v)=u (i.e., either (u,v)∈Ex, or u=v is an isolated vertex)
(1,v,d1,…,dq(n),u,c1,…,ck+1)→(1,v,d1,…,dq(n),u,c1,…,ck)
(1,v,d1,…,dq(n),u)→(1,v,d1,…,dq(n))
(1,v,d1,…,dk+1)→(1,v,d1,…,dk)
(1,u)→(0,u)
Formally, let r(n) be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with AC0-functions); we actually put V′x={0,1}r(n), and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.
It is easy to see that the functions f′, g′ representing G′x are AC0-computable: in particular, we can test in AC0 whether c1,…,ck is a valid partial computation of f(x,u), we can compute ck+1 from ck, and we can extract the value of f(x,u) from cq(n).
The sinks in G′x are nodes of the form (0,u,c1,…,cq(n),u,d1,…,dq(n)) where u is a sink in Gx. Likewise, sources are (1,v,d1,…,dq(n),v,c1,…,cq(n)) where v is a source in Gx, except that in the special case v=0p(n), we have pruned the line early and the corresponding source in G′x is just (0,0p(n)). We can assume the encoding of sequences is done in such a way that (0,0p(n))=0r(n).
Thus, f′ and g′ define an AC0PAD problem S′, and we can extract a solution to S(x) from a solution to S′(x) by an AC0-function h′ which outputs the second component of a sequence.