Teorema panah adalah teorema klasik. Menemukan masalah terbuka tidak mudah untuk teori pilihan sosial (atau setidaknya untuk saya), baik.
Saran umum saya kepada siswa yang belajar ekonomi adalah: "menjauhlah dari teorema, kecuali jika Anda dapat menghubungkan kontribusi Anda dengan beberapa ide terbaru (misalnya, aksioma yang telah diusulkan baru-baru ini, solusi yang telah dipelajari sedikit, dan asumsi perilaku dalam mode) "Cobalah untuk menemukan masalah yang tidak berhubungan dengan teorema Arrow. Ada banyak masalah seperti itu bahkan dalam teori pilihan sosial." Hanya setelah Anda memiliki gambaran umum tentang masalah apa yang ingin Anda tuju, periksa Buku Pegangan Pilihan Sosial dan Kesejahteraan .
Masalah komputasi bisa menjadi salah satu ide "baru" seperti itu. Meskipun penyelidikan kompleksitas (aturan atau manipulasi atau solusi, dll.) Adalah perhatian utama bagi para ilmuwan komputer (seperti yang disarankan oleh orang lain), ada makalah keluar (seperti Mihara, 1997, Teorema Panah dan Komputasi Turing) , Teori Ekonomi 10: 257-276) yang mempelajari masalah kemampuan komputasi (fundamental?) Dalam kerangka Arrow. ;-)
Izinkan saya mengomentari dua masalah yang Anda sarankan.
Saya tidak yakin apakah para teoretikus pilihan sosial lalai mempertimbangkan perintah parsial. Jika mereka melakukannya, mereka melakukannya mungkin karena "keberpihakan" dapat diekspresikan oleh preferensi yang ketat (seperti yang kita lakukan di Kumabe dan Mihara, teori agregasi preferensi tanpa asiklikitas: Inti tanpa ketidakpuasan mayoritas, Permainan dan Perilaku Ekonomi , dalam pers). (Dalam hal itu, lebih baik lupakan preferensi lemah R atau mendefinisikan secara berbeda [sehingga tidak akan menjadi lengkap]: Dengan mendefinisikan xRy [x lebih lemah disukai untuk y] jikaf bukan yPx [bukan y lebih disukai daripada x], kita memiliki P adalah asymmetric iff R selesai !)
Beberapa penulis tidak, tapi saya kira sebagian besar ahli teori pilihan sosial cukup berhati-hati untuk tidak mengklaim bahwa fungsi kesejahteraan sosial diktatorial memuaskan IIA. Sebagai contoh, saya katakan (Mihara, 1997) bahwa dalam fungsi kesejahteraan sosial memuaskan IIA , sebuah aturan bersifat diktatorial jika memenuhi syarat tertentu. Jadi mereka tahu masalahnya terbuka, tetapi mungkin tidak tertarik untuk mengklasifikasikan fungsi diktator lebih lanjut. (Mungkin Mossel dan Tamuz dapat mengomentari errata Armstrong yang dikutip oleh Mihara. Ia mengidentifikasi serangkaian diktator atau ultrafilter.) Ini menyarankan strategi penelitian lain (yang tidak bisa saya rekomendasikan): cobalah untuk menemukan masalah yang tidak menarik bagi para ahli teori pilihan sosial.