Cukup ketik kalkulus lambda dan logika urutan lebih tinggi

Apa hubungan antara kalkulus lambda yang diketik sederhana dan logika tingkat tinggi?

Di bawah Curry-Howard tampaknya hanya mengetik lambda kalkulus sesuai dengan logika proposisional. Bagaimana kaitannya dengan logika tingkat tinggi? Menurut tutorial ini oleh Geuvers: http://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdf bahasa HOL tampaknya STT. Bukankah seharusnya PROP? Apa artinya?

Apakah Gereja ada dalam pikirannya HOL ketika mendefinisikan STT?

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
sumber

Ya, Gereja memang memiliki HOL dalam pikirannya. Trik untuk mendapatkan HOL dari STT adalah dengan menggunakan kesetaraan , selain fungsi aplikasi dan abstraksi fungsi. Kemudian Anda dapat menulis

sebagai

, antara lain. Saya suka "Tujuh Kebajikan Teori Jenis Sederhana" sebagai pengantar untuk STT, yang membahas pertanyaan semacam ini. Mungkin saya harus menulis jawaban ...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— Thomas Klimpel

Jadi, ketika berbicara tentang Curry-Howard, apa yang akan menjadi logika yang setara dengan STT? HOL atau PROP?

— lambda2

Sehubungan dengan Curry-Howard, itu tidak berpikir itu akan menjadi HOL. Mungkin itu adalah fragmen multiplikasi dari PROP intuitionistic, yaitu PROP intuitionistic tanpa "atau". Tapi itu untuk CCC (kategori tertutup cartesian), dan saya agak lelah saat ini. Lambda mungkin akan diterjemahkan sebagai "implikasi", yang merupakan "eksponensial" di CCC. "Produk" dari CCC adalah "dan", jadi Anda akan membutuhkan "pasangan" di STT untuk itu. Dan "atau" akan menjadi "jumlah" ketik STT kemudian, yaitu serikat terputus-putus, mungkin jika "a" maka "b" lain "c" melakukan itu.

— Thomas Klimpel

Saya pikir saya membingungkan sesuatu (atau semuanya). Jika STT ~ = PROP (via Curry-Howard), dan STT juga HOL, maka saya dapat menggunakan PROP dalam arti tertentu untuk memiliki HOL?

— lambda2

@ThomasKlimpel: Anda harus mengubah komentar Anda menjadi jawaban.

— cody

Perbedaannya adalah ini: jika STLC diambil sebagai bahasa primitif pada konstruktor penambah tipe-tingkat dan sejumlah kecil aksioma cukup untuk memberi Anda kekuatan ekspresif penuh HOL.

$\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

$\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

$[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

$\lambda$

— cody
sumber

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

Tolong, apa aksioma yang pandai itu? Saya kira ini ada hubungannya dengan menyediakan cara untuk membuktikan kesetaraan ... Juga, apakah Anda tahu nama untuk secara eksplisit membedakan tingkat ekstensi HOL? (dengan kesetaraan, kemudian dengan tipe polimorfik, kemudian dengan tipe dependen).

— Hibou57

@ Hibou57 aksioma diuraikan dalam artikel yang sangat bagus The Seven Virtues of Simple Type Theory . Saya tidak tahu bahwa ada nama eksplisit untuk membedakan ekstensi STT yang berbeda, selain yang Anda gunakan.

— cody