Kompleksitas garis lurus monomial

Biarkan menjadi bidang. Seperti biasa, untuk sebuah kita mendefinisikan sebagai kompleksitas garis lurus dari atas . Misalkan adalah himpunan monomial dari , yaitu monomial yang muncul dalam dengan koefisien tidak nol. $k$ $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $L(f)$ $f$ $k$ $F$ $f$ $f$

Benarkah ? $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$

Bahkan beberapa batas atas yang lebih lemah untuk diketahui? $L(m)$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
sumber

Jawaban:

Jika maka ia memiliki monomial dan . Dengan argumen penghitungan, ada program garis lurus panjang . Karena memiliki lebih banyak monomial, bagi sebagian kita memerlukan program yang lebih panjang. Sebenarnya argumen ini memberikan monomial yang .

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
sumber

Sebagai contoh konstruktif kecil berdasarkan jawaban domotorp, orang dapat mengambil dengan sedangkan .

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— Bruno

@domotorp, Terima kasih atas jawaban yang bagus. Apakah ini tampaknya juga menjadi batas atas? Atau mungkin ada batas bawah yang lebih baik?

— Gorav Jindal

Saya tidak tahu, tetapi karena contoh ini sangat sederhana, saya kira celahnya bisa lebih besar, bahkan mungkin eksponensial.

— domotorp

Saya punya "bukti" bahwa ada batas atas linier ... Di mana saya salah (karena Anda membuktikan batas bawah kuadratik)? Ini adalah sebagai berikut: Dengan SLP ukuran , Anda menghitung polinomial dari jumlah derajat . Sekarang memiliki ukuran SLP paling banyak dengan eksponensial biner. Sebuah degree- -variate monomial telah maka SLP ukuran paling (sangat kasar terikat): menghitung semua , , dan kemudian produk mereka. Jadi jika kita mempertimbangkan polinom , derajat totalnya paling banyak , dan masing-masing monomial memiliki ukuran SLP paling banyak

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ .

— Bruno

@ Bruno: Bukti bagus dan tidak ada yang salah dengan itu, tetapi tidak linear, karena Anda mengalikan dan . Tetapi karena kita tahu bahwa dapat bergantung pada paling banyak variabel , kita dapat mengasumsikan , yang menyiratkan batas kuadratik yang diperlukan. Jadi .

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— domotorp

Catatan: Ini adalah perluasan dari komentar sebelumnya, karena OP secara eksplisit meminta batas atas yang lebih lemah.

Derajat total polinomial dibatasi oleh karena setiap operasi paling banyak dapat menggandakan derajat polinomial. Jadi, untuk setiap , . $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

Sekarang, untuk beberapa variabel dan derajat , ada SLP yang mengonversi oleh eksponensial biner jika ukuran paling banyak . Untuk monomial , seseorang dapat secara terpisah menghitung setiap dan kemudian mengambil produk mereka. Jadi mana adalah derajat total (yang tentu saja merupakan batas atas pada setiap ). $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

Bersama-sama, satu diperoleh untuk : $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

Karena , seseorang dapat menyimpulkan $n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

Catatan. Batas seperti yang dinyatakan sangat kasar. Secara khusus, batas atas pada diberikan adalah paragraf kedua tidak ketat. Namun, jawaban domotorp menunjukkan bahwa seseorang tidak dapat berharap untuk ikatan yang lebih baik, dan lebih tepatnya bahwa ketergantungan kuadratik pada tidak dapat dihilangkan. Untuk mengencangkan konstruksi, orang dapat menggunakan konstruksi paling dikenal pada rantai tambahan . Perhatikan bahwa batas pasti masih belum diketahui untuk masalah ini. $L(m)$ $L(f)$

— Bruno
sumber