Properti dapat diekspresikan dalam 2-CNF atau 2-SAT

Bagaimana seseorang menunjukkan bahwa properti tertentu tidak dapat dinyatakan dalam 2-CNF (2-SAT)? Apakah ada game, seperti game kerikil? Tampaknya game kerikil hitam klasik dan game kerikil hitam-putih tidak cocok untuk ini (mereka PSPACE lengkap, menurut Hertel dan Pitassi, SIAM J of Computing, 2010).

Atau teknik apa pun selain permainan?

Sunting : Saya sedang memikirkan properti yang melibatkan penghitungan (atau kardinalitas) dari predikat yang tidak diketahui ( predikat SO , seperti yang dikatakan oleh para ahli teori model hingga). Misalnya, seperti dalam Klik atau Pencocokan tak tertimbang. (a) Klik : Apakah ada klik pada grafik yang diberikan sehingga beberapa angka ? (B) Matching : Apakah ada cocok di sehingga ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

Bisakah 2-SAT dihitung? Apakah ada mekanisme penghitungan? Sepertinya ragu.

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— Sameer Gupta
sumber

Saya mengerti bahwa ada game Ehrenfeucht – Fraïssé (untuk FO) dan game Ajtai-Fagin (untuk SO monadik) dalam teori model hingga. Tetapi tidak yakin apakah mereka cukup di sini. Juga game di FMT jadi rumit dengan struktur yang dipesan, kan?

— Sameer Gupta

@ Marszio sepertinya beberapa bukti bahwa tidak semua fungsi Boolean dapat diekspresikan dalam 2CNF karena Anda menyatakan akan menjawab pertanyaan (tidak benar-benar yakin akan hal itu, jangan melihatnya dengan jelas). bukti apa itu? apakah itu diterbitkan di suatu tempat?

— vzn

@vzn: fungsi boolean sepele yang tidak dapat diekspresikan dalam 2-CNF adalah:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Marzio De Biasi

@SameerGupta: setelah reformulasi, perhpas pertanyaannya menjadi sulit :-); memang

, di mana

terbatas pada klausa dengan dua variabel (SO-Krom) menangkap NL lebih memerintahkan struktur, sementara menangkap eksistensial SO NP. Jelas terbatas pada FO 2-SAT tidak dapat dihitung (dan permainan Ehrenfeucht – Fraïssé atau teknik kekompakan cukup jauh, karena Anda dapat menggunakannya untuk membuktikan bahwa PARITY bukan FO yang dapat didefinisikan).

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi

baik. tampaknya ada beberapa teori umum bahwa

-SAT tidak dapat mengekspresikan semua fungsi boolean untuk konstanta

. teori apa itu? pertanyaan ini menanyakan tentang kasus khusus

. perhatikan ada konsep "pengurangan"

-SAT menjadi 3-SAT melalui transformasi Tseitin . juga telah melihat konsep serupa muncul di sirkuit monoton bukti batas bawah (Razborov).

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

Jawaban:

Keluarga bitvectors adalah kelas solusi untuk masalah 2-SAT jika dan hanya jika ia memiliki properti median: jika Anda menerapkan fungsi mayoritas bitwise ke tiga solusi Anda mendapatkan solusi lain. Lihat misalnya https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiability dan rujukannya. Jadi jika Anda dapat menemukan tiga solusi yang ini tidak benar, maka Anda tahu itu tidak dapat dinyatakan dalam 2-CNF.

— David Eppstein
sumber

David, terima kasih, akan mencari ini. @vzn - Apakah jawaban David terkait dengan apa yang Anda komentari 2 hari lalu di situs obrolan, bahwa rumus 3SAT ada untuk semua set vektor bit, dan mencari hasil untuk rumus 2SAT tentang set bit-vektor?

— Sameer Gupta

David, Yuval - Tentu saja bukti Anda akan berfungsi jika seseorang menggunakan set variabel yang sama. Tetapi bagaimana jika set variabel yang digunakan bisa sangat berbeda? Lihatlah jawaban Martin Seymour di sini: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - Untuk menunjukkan bahwa tidak ada pengurangan yang memuaskan (lebih disukai logspace) dari K-Clique atau K-Matching ke 2SAT akan membutuhkan bukti yang berbeda . Pikiran?

— Sameer Gupta

Menambahkan variabel bantu dan kemudian memproyeksikannya tidak akan membantu, karena jika properti median benar untuk sistem variabel yang diperbesar maka itu masih benar dalam proyeksi.

— David Eppstein

Cara lain untuk mengatakannya adalah median (atau mayoritas) adalah polimorfisme untuk kendala 2SAT. Bahkan, diketahui bahwa setiap CSP (bahkan non-boolean) yang memiliki mayoritas sebagai polimorfisme adalah di

(Dalmau-Krokhin '08).

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab

Biarkan menjadi properti pada variabel. Misalkan ada rumus 2CNF sedemikian sehingga $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ Kami mengklaim bahwa setara dengan rumus 2CNF yang hanya melibatkan . Untuk membuktikan ini, cukup dengan menunjukkan bagaimana cara menghilangkan . Tulis

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

mana

adalah literal, dan

tidak melibatkan

. Rumus

setara dengan

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

ini membuktikan klaim ketika

tidak muncul dalam unit klausa; jika ya, kita bisa menghilangkannya secara langsung.

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Yuval Filmus
sumber

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(Ya, saya tahu penambahan, perkalian, dan penghitungan fungsi penghitungan, tetapi mudah untuk mengubahnya menjadi versi keputusan dari masalah mereka masing-masing.)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) Jadi untuk penghitungan , meskipun Anda mungkin tidak dapat memperoleh ekspresi setara dalam 2-CNF, menggunakan metode yang diuraikan dalam (b), Anda bisa mendapatkan ekspresi 2-CNF yang memuaskan .

Jadi ya, 2-SAT bisa dihitung.

$NL$ $|M|$ $NL$

— Martin Seymour
sumber

Re (c), jika Anda yakin dengan jawaban saya maka ekspresi 2-CNF yang setara dapat dikonversi menjadi ekspresi 2-CNF setara yang bonafid.

— Yuval Filmus

-

$-$

$~$

Anda dapat membaca jawaban saya dan melihat sendiri. Perhatikan bahwa tidak ada batasan waktu / ruang dalam kasus ini.

— Yuval Filmus

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$